一般无穷积分的收敛判别法

积分里的狄屎判别法

• $F(u)={\int }_a^{u}f(x)dx在[a,+\infty )$有界
• $x\to +\infty 时，g(x)单减\to 0$
• $\Rightarrow$ $${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx收敛！！$$

证明

• 设${\int }_a^{u}f(x)dx\le M$
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)=0\Rightarrow$ $\forall \epsilon >0,\exists G\ge a,x>G时$ $$|g(x)|<{\epsilon }^{\prime }(\epsilon )$$
• 由积分第二中值定理，$\forall u_2>u_1>G,\exists \xi \in [u_1,u_2]\Rightarrow$ $$|{\int }_{u_1}^{u_2}f(x)g(x)dx|=|g(u_1){\int }_{u_1}^{\xi }f(x)dx+g(u_2){\int }_{\xi }^{u_2}f(x)dx|$$ $$\le |g(u_1)||{\int }_{u_1}^{\xi }f(x)dx|+|g(u_2)||{\int }_{\xi }^{u_2}f(x)dx|$$ $$=|g(u_1)||{\int }_a^{\xi }f(x)dx-{\int }_a^{u_1}f(x)dx|$$ $$+|g(u_2)||{\int }_a^{u_2}f(x)dx-{\int }_a^{\xi }f(x)dx|$$ $$\le {\epsilon }^{\prime }\cdot 2M\cdot 2\stackrel{令}{}<\epsilon$$
• 只要让${\epsilon }^{\prime }=\frac{\epsilon }{4M}$就好啦！

阿贝尔判别法

• ${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛
• $g(x)$单调有界
• $\Rightarrow$ $${\int }_a^{+\infty }f(x)g(x)dx收敛！！$$

注意！！

关于深入理解$g(x)$单调这个点：
只要$g(x)$在$x\to +\infty$时保持单调即可！！

看一道例题：请问$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sqrt{x}\cos x}{100+x}$$
是发散 or 条件收敛 or 绝对收敛呢？

• 首先，${\int }_0^{+\infty }\frac{\sqrt{x}\cos x}{100+x}dx$一定是收敛的，因为由狄屎判别法
  • ${\int }_0^u\cos xdx$有界$\le \frac{1}{2}$
  • 令$$g(x)=\frac{\sqrt{x}}{100+x}$$
  • $$g^{\prime }(x)=\frac{100-x}{2\sqrt{x}(100+x{)}^2}$$
  • 当$x\in [100,+\infty )$时，$g^{\prime }(x)<0\Rightarrow g(x)$单调递减
• 但${\int }_0^{+\infty }|\frac{\sqrt{x}\cos x}{100+x}|dx$不收敛
  • $$\left|\frac{\sqrt{x}\cos x}{100+x}\right|\ge \frac{\sqrt{x}{\cos }^{2}x}{100+x}$$ $$=\frac{\sqrt{x}}{2(100+x)}+\frac{\sqrt{x}\cos 2x}{2(100+x)}$$
  • $${\int }_0^{+\infty }\frac{\sqrt{x}\cos 2x}{2(100+x)}dx收敛$$方法和上面一样
  • 但是${\int }_0^{+\infty }\frac{\sqrt{x}}{2(100+x)}dx$发散哦，因为$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{\sqrt{x}}{2(100+x)}=\frac{1}{2}$$

所以结论——条件收敛

总结

狄屎：定积分有界+g(x)单减趋0
Abel：无穷积分收敛+g(x)单调有界

补充：级数中的狄屎和Abel

狄屎：级数部分和有界+数列单减趋0
Abel：级数收敛+数列单调有界