基函数做最佳平方逼近
使用基函数 1 , x , x 2 , … , x n 1,x,x^2,\dots,x^n 1,x,x2,…,xn做最佳平方逼近
原函数 f ( x ) = 1 + x 2 f(x)=\sqrt{1+x^2} f(x)=1+x2
代码如下：
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt #plt用于显示图片
import sympy
from scipy import integrate
#本程序实现了以1,x,x^2,...x^n为phi的最佳平方逼近
#对应课本例题p86页例5
#scipy.integrate 是积分程序
#scipy.linalg.inv():计算方阵的逆
#sympy是一个符号计算的python库
#对比其他的计算机代数系统，使用sympy需要明确声明符号变量
#求d_i,其中B为对应的phi_k,f为原函数。对f使用phi进行最佳平方逼近
def sum_d(a,b,n):#求d
x = sympy.symbols('x')
f = sympy.sqrt(1+pow(x,2))
B = [sympy.Symbol('m') for w in range(n)]
v = np.zeros(n)
for i in range(n):
B[i]=pow(x,i)*f #修改phi函数
v[i]=sympy.integrate(B[i],(x,a,b))
return v
def sum_f(a,b,n):#求H
y=err=g = np.zeros((n,n,2))
for i in range(n):
for j in range(n):
y[i][j]=integrate.quad(lambda x:pow(x,i+j), a, b)
#
return y[...,0]
def can_f(a,b,n):#求a_0,...,a_n
q,g=np.zeros((n,n))
q=sum_f(a,b,n)#求H(希尔伯特矩阵)
g=np.linalg.inv(q)#求逆
s=v=np.zeros(n)
s=sum_d(a,b,n)#求d_i
v=np.dot(g,s)#H^-1*d
return v
z=can_f(0,1,2)#求a_0,...,a_n
str='%-4.3fx^1+%-4.3f'%(z[1],z[0])#不知道怎样自动生成公式
print(str)
使用勒让德多项式做[-1,1]上的最佳平方逼近
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt #plt用于显示图片
import sympy
from scipy import integrate
import Legendr
#本程序实现了以勒让德多项式为phi的最佳平方逼近
#对应课本例题p89页例6
#scipy.integrate 是积分程序
#scipy.linalg.inv():计算方阵的逆
#sympy是一个符号计算的python库
#对比其他的计算机代数系统，使用sympy需要明确声明符号变量
#求d_i,其中B为对应的phi_k,f为原函数。对f使用phi进行最佳平方逼近
x = sympy.symbols('x')#全局变量x为字符常量
def Lf(n):
B = [sympy.Symbol('m') for w in range(n)]
for i in range(n):
B[i]=Legendr.P(i)
return B
def sum_d(a,b,n):#求d
f = math.e**x
B = [sympy.Symbol('m') for w in range(n)]
v = np.zeros(n)
for i in range(n):
B[i]=Lf(n)[i]*f #修改phi函数
v[i]=sympy.integrate(B[i],(x,a,b))
return v
#生成矩阵
def can_f(a,b,n):#求a_0,...,a_n
q=np.zeros((n,n))
for i in range(n):
for j in range(n):
if (i==j):
q[i][j]=(2*i+1)/2
else:
q[i][j]=0
print(q)
s=v=np.zeros(n)
s=sum_d(a,b,n)#求d_i
v=np.dot(q,s)#H^-1*d
return v
#求三次最佳平方逼近多项式，n应该取4
z=can_f(-1,1,4)
t=sympy.simplify(z[0]*Lf(4)[0]+z[1]*Lf(4)[1]+z[2]*Lf(4)[2]+z[3]*Lf(4)[3])#代入多项式并简化
print(t)
#赋值计算
print(math.exp(1))
print(t.subs(x,1))
其中，Legendr.py为
import sympy
x = sympy.symbols('x')
def P(point):
if point == 0:
return 1
elif point == 1:
return x
p0 = 1
p1 = x
for i in range(point - 1):
temp = ((2 * i + 3) * x * p1 - (i + 1) * p0) / (i + 2)
p0 = p1
p1 = temp
return p1
使用勒让德多项式做[a,b]上的最佳平方逼近并绘图
代码如下：
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt #plt用于显示图片
import sympy
from scipy import integrate
import Legendr
import matplotlib.pyplot as plt
#本程序实现了以勒让德多项式为phi的最佳平方逼近
#对应课本例题p89页例6
#scipy.integrate 是积分程序
#scipy.linalg.inv():计算方阵的逆
#sympy是一个符号计算的python库
#对比其他的计算机代数系统，使用sympy需要明确声明符号变量
#求d_i,其中B为对应的phi_k,f为原函数。对f使用phi进行最佳平方逼近
x = sympy.symbols('x')#全局变量x为字符常量
g = sympy.symbols('g')
def Lf(n):
B = [sympy.Symbol('m') for w in range(n)]
for i in range(n):
B[i]=Legendr.P(i)
return B
def sum_d(a,b,n):#求d
#与上一程序相比变化之处(做了变量替换)
f = math.e**((b-a)*x/2+(b+a)/2)
B = [sympy.Symbol('m') for w in range(n)]
v = np.zeros(n)
for i in range(n):
B[i]=Lf(n)[i]*f #修改phi函数
v[i]=sympy.integrate(B[i],(x,-1,1))
return v
#生成矩阵
def can_f(a,b,n):#求a_0,...,a_n
q=np.zeros((n,n))
for i in range(n):
for j in range(n):
if (i==j):
q[i][j]=(2*i+1)/2
else:
q[i][j]=0
s=v=np.zeros(n)
s=sum_d(a,b,n)#求d_i
#print(s)
v=np.dot(q,s)#H^-1*d
return v
def ttox(r,a,b):
s=r.subs(x,(2*x-a-b)/(b-a))
return s
#求三次最佳平方逼近多项式，n应该取4
def valuey(a,b,n,c):
z=can_f(a,b,n)
t=sympy.simplify(z[0]*Lf(4)[0]+z[1]*Lf(4)[1]+z[2]*Lf(4)[2]+z[3]*Lf(4)[3])#代入多项式并简化
s=ttox(t,1,5).subs(x,c)
return s
#画图像
def drawv(a,b,n):
s=np.arange(a,b,0.01)
vy=[math.exp(s[i]) for i in range(len(s))]
y=[valuey(a,b,n,s[i]) for i in range(len(s))]
plt.plot(s,y,linewidth=3, color='lawngreen')
plt.plot(s,vy,linewidth=3, color='cyan')
plt.show()
drawv(1,5,4)