曲线积分与路径无关理论 及其解题的思考

这对于自己来说也是一个老大难的问题，所以要着手写这样一篇文章实属不易，走一步算一步，想哪写哪吧。

这倒并不是说大题的计算是障碍，相反，个人觉得，大题都有固定的套路，反而容易。小题考理论的话，就比较抽象了，最怕的就是这个。就像先前写的隐函数存在定理那篇文章，我试图深究，却发现不知不觉，我进入了《数学分析》的领域，已超出考研的范围。

盘点：

（1）首先是连通域的问题，需要区别单连通与复连通域，所谓的单连通域，就是在平面内有一个区域D，在该区域内做任一条简单闭曲线总是属于区域D.

这里有几个概念需要理解，直接上图。

实际上可以简单的把单连通区域理解为没有洞的区域，那么这个时候问题又来了，若不是闭区域怎么办？

如果说是坐标系的无穷区间呢？

看一道题：source：18讲chapter 18

分析：对于第一个区间显然只刨除了原点，这就相当于一个洞，所以属于复连通区域

           对于第二个区间所有点都能使前面的式子有定义，所以属于单连通区域。

这是第一个概念，继续！

（2）先从计算题考虑。对于下面的这个第二型曲线积分我要怎么做呢？

解题的第一步是观察L是否封闭，也就是刚刚（1）所讨论的内容。

假设封闭：观察曲线方向，是否是正向。

               闭曲线内没有无定义的点，直接用格林公式。

                闭曲线内有无定义的点：挖洞用格林。

                        在这里有一个小结论：设P.Q在D上除（x0,y0）外处处有连续一阶偏导数，且

则对D内任意两条同向绕点（x0，y0）的闭曲线L1和L2，两者的积分值是一样的。

这个定理就解释了之前自己在做一类题时，发现大区域内有一个无定义的点，然后在里面做小区域，外逆内顺为正边界，实际上最后也就是这个小区间的积分。

好吧，这样说有点抽象，下面需要用题目来解释。

至此刚说完封闭怎么办。

不封闭：就要考虑是否和路径无关。

           如果是无关的话，就可以考虑换路径，

          如果是有关的话，可以考虑补线用格林

            此处涉及到一个非常重要的结论：对于单连通区域，如果，则积分与路径无关。

                                                                对于复连通区域，两个偏导数的值相等并不能说明积分与路径无关，还需要找一条绕这个洞的闭曲线，若积分值为0，则说明是无关的；如果积分值不为0，则说明是有关的。

计算的问题大概就说这么多。

（3）接下来谈抽象的等价问题。

  设D是平面单连通区域，若P(x,y),Q(x,y)在D上连续且具有一阶连续偏导数，则以下6个命题等价。

1.在D内处处成立。

2.沿D内任意分段光滑闭曲线L，有

3.在D内与路径无关，只与L的起点A和终点B有关。

4.在D内存在可微的单值函数u(x,y),使Pdx+Qdy为u(x,y)的全微分。即du=Pdx+Qdy

5.矢量函数V=P(x,y)i+Q(x,y)j 为某单值数量函数u(x,y)的梯度

6.Pdx+Qdy=0为全微分方程。

（4）还想说的一点就是积分与路径无关与存在原函数是等价命题

好了，理论就讨论到这儿，接下来分析几道题目。

先解决上面那道题：

第一问明显不是单连通区域，由由于积分值不是0，所以不存在原函数。第二问可以求出原函数。

  

例2：source：1000题chapter6

分析：计算可知两个偏导数是相等的，对于单连通区域，也就是不绕原点的话，积分值是为0的。故排除BD选项。

再令x=cost,y=sint  t在-到之间，计算AC的积分。发现C的结果为0，说明C是积分与路径无关的。

总结：这类的题目大都遵循这个思路！