MATLAB-最佳平方逼近与非线性拟合例题--十安辰

MATLAB-最佳平方逼近与非线性拟合例题–十安辰

最佳平方逼近例题

题目：设$f\left(x\right)=x{e}^x,x\in \left[0,1.5\right]$，求f(x)的三次近似最佳平方逼近多项式

编写函数最佳平方逼近的程序square_approximation.m

function [A,B,p]=square_approximation(wfun,phifun,fun,a,b)
% 最佳平方逼近
% 输入参数：
%      ---wfun：权函数
%      ---phifun：基函数
%      ---fun：逼近函数
%      ---a,b：逼近区间的端点
%      ---n：最佳逼近的次数，默认值为1
% 输出参数：
%      ---A：法方程组的系数矩阵
%      ---b：法方程组的右端向量
%      ---p：最佳平方逼近的系数
n=size(phifun,1);
A=zeros(n);
for i=1:n
    for j=1:n
        f1=inline(['(',wfun,')','.*','(',phifun(i,:),')',...
            '.*','(',phifun(j,:),')']);
        A(i,j)=quad(f1,a,b);
    end
    f2=inline(['(',wfun,')','.*','(',phifun(i,:),')','.*','(',fun,')']);
    B(i)=quad(f2,a,b);
end
B=B';a=A\B;
p=a';

解题方法：直接调用函数square_approximation()编写如下语句：

wfun='x.^0';  % 权函数
phifun=char('1','x','x.^2','x.^3');  % 基函数
fun='x .* exp(x)';  % 被逼近函数
a=0;b=1.5;  % 区间端点
[A,B,p]=square_approximation(wfun,phifun,fun,a,b)  % 求解三次最佳平方逼近多项式系数
p2=poly2str(fliplr(p),'x')  % 根据多项式系数构造多项式

输出如下：

A =
    1.5000    1.1250    1.1250    1.2656
    1.1250    1.1250    1.2656    1.5187
    1.1250    1.2656    1.5188    1.8984
    1.2656    1.5187    1.8984    2.4408
B =
    3.2408
    3.6021
    4.3194
    5.4111
p =
   -0.0285    1.3624   -0.0047    1.3876

p2 =
    ' 1.3876 x^3 - 0.0047316 x^2 + 1.3624 x - 0.028506'

所以f(x)的三次近似最佳平方逼近多项式为$f(x)=1.3876x^3-0.0047316x^2+1.3624x-0.028506$

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非线性拟合例题

题目：已知一组观测数据$\left(x_i,y_i\right)$见下表，函数的原型为$y=a_1+a_2{x}^2+a_3{e}^{-5x^3}+a_4\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(-2x\right)+a_5{x}^4$，试用所给数据求出待定系数的值。

$x_i$	$y_i$	$x_i$	$y_i$
0	6.3700	1.1	5.4941
0.1	6.3888	1.3	5.9187
0.3	6.2056	1.8	4.5944
0.4	5.8676	2.1	1.1440
0.7	4.7256	2.6	-11.4326
0.9	4.8990	3.0	30.0009
0.95	5.0383

这里使用MATLAB最优化工具箱中提供的 lsqcurvefit() 函数，可以解决非线性最小二乘拟合问题，该函数的调用格式为：
$[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,...)$
其中，fun是非线性函数模型；x0是最优化的初始值；xdata，ydata是原始输入输出数据向量；返回值x为拟合输出的未知参数

解题方法：直接调用函数lsqcurvefit() 编写如下语句：

xi=[0 0.1 0.3 0.4 0.7 0.9 0.95 1.1 1.3 1.8 2.1 2.6 3.0];%观测数据
yi=[6.3700 6.3888 6.2056 5.8676 4.7256 4.8990 5.0383 5.4941 5.9187 4.5944 1.1440 -11.4326 30.0009]
f=@(b,x)b(1)+b(2).*x.^2+b(3).*exp(-5.*x.^3)+b(4).*cos(-2.*x)+b(5).*x.^4;  % 定义拟合函数模型
x = lsqcurvefit(f,[0.5,10,0,0,1],xi,yi);  % 最小二乘拟合求解
x1 = 0:0.01:3;  %缩小步进
plot(x1,f(x,x1),xi,yi,'ko')  % 绘制图形

输出：

x =
    9.4777  -16.5136   22.4145  -25.3911    2.3676

所以$f(x)=9.4777-16.5136x^2+22.4145e^{-5x^3}-25.3911cos(-2x)+2.3676x^4$

输出图像如图所示：

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