行列式的定义

n级排列的定义：

由$1，2，3\cdots ,n$组成的一个有序数组，称为一个n级排列。

如$1234$是一个4级排列，$4321$是另一个4级排列。可知4级排列一共有$4!$个。

逆序数的定义

n级排列$i_1{i}_2\cdots i_n$中，如果有较大的数$i_s$排在较小的数$i_t$前，则称$i_s$与$i_t$构成一个逆序。

排列$i_1{i}_2\cdots i_n$中逆序的总数称为它的逆序数，记作$N(i_1{i}_2\cdots i_n)$。

如$N(1234)=0，N(4321)=3+2+1=6$

n阶行列式定义为：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1,j_2\cdots j_n}(-1{)}^{N(j_1,j_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$

上式左边通常称为行列式的记号，简记为$|a_{ij}|$或$(a_{ij})$；右边为行列式的展开式，其值为行列式的值。

其中$a_{ij}(i,j=1,2\cdots ,n)$为行列式第$i$行$j$列的元素。

$\sum _{j1,j2\cdots j_n}$ 表示对所有n级排列求和（共对$n!$项求和）。

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例

2阶行列式求值

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

先写出所有2阶排列及其逆序数：
N(12)=0;N(21)=1;

(1.1)式$=(-1{)}^0{a}_{11}{a}_{22}+(-1{)}^1{a}_{12}{a}_{21}=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$