卡特兰数又称卡塔兰数,
英文名Catalan number,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名,其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式
[1] :
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)
例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5
另类递推式
[2] :
h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
递推关系的解为:
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)
递推关系的另类解为:
h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1) (n=0,1,2,...)
出栈次序问题
问题等价于:n个1和n个0组成一2n位的2 进制数,要求从左到右扫描,1的累计数不小于0的累计数,试求满足这条件的数有多少?
首先,我们设f(n)=序列个数为n的出栈序列种数。同时,我们假定,从开始到栈第一次出到空为止,这段过程中出栈的序数最大的是k。特别地,如果栈直到整个过程结束时才空,则k=n
首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列,其中一个是1~k-1,序列个数为k-1,另外一个是k+1~n,序列个数是n-k。
此时,我们若把k视为确定一个序数,那么根据 乘法原理,f(n)的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数,即选择k这个序数的f(n)=f(k-1)×f(n-k)。而k可以选1到n,所以再根据 加法原理,将k取不同值的序列种数相加,得到的总序列种数为:f(n)=f(0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+……+f(n-1)f(0)。
看到此处,再看看卡特兰数的递推式,答案不言而喻,即为f(n)=h(n)= C(2n,n)/(n+1)= c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,……)。
最后,令f(0)=1,f(1)=1。
代数证明:
设P2n为这样所得的数的个数。在2n位上填入n个1的方案数为 C(n 2n)
不填1的其余n位自动填以数0。从C(n 2n)中减去不符合要求的方案数即为所求。
不合要求的数指的是从左而右扫描,出现0的累计数超过1的累计数的数。
不合要求的数的特征是从左而右扫描时,必然在某一 奇数2m+1位上首先出现m+1个0的累计数,和m个1的累计数。
此 后的2(n-m)-1位上有n-m个1,n-m-1个0。如若把后面这部分2(n-m)-1位,0与1交换,使之成为n-m个0,n-m-1个1,结果得 1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,即一个不合要求的数对应于一个由n-1个1和n+1个0组成的一个排列。
反过来,任何一个 由n+1个0,n-1个1组成的2n位数,由于0的个数多2个,2n是偶数,故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面的部分,令0 和1互换,使之成为由n个0和n个1组成的2n位数。即n+1个0和n-1个1组成的2n位数,必对应于一个不合要求的数。
用上述方法建立了由n+1个0和n-1个1组成的2n位数,与由n个0和n个1组成的2n位数中从左向右扫描出现0的累计数超过1的累计数的数一一对应。
例如 10100101
是由4个0和4个1组成的8位2 进制数。但从左而右扫描在第5位(显示为红色)出现0的累计数3超过1的累计数2,它对应于由3个1,5个0组成的10100010。
反过来 10100010
对应于 10100101
因而不合要求的2n位数与n+1个0,n-1个1组成的排列一一对应,故有
P2n = C(n 2n)— C(n+1 2n)
这个结果是一个“卡塔兰数”Catalan
图形化证明:http://blog.163.com/wangenze_black@126/blog/static/110710515200962110481040/
HDOJ 2067
![](http://img.e-com-net.com/image/info8/b8d97b5613f94ed2ba791cad57d0b2ed.gif)
![](http://img.e-com-net.com/image/info8/2f88dd3f1cd145f59c0e47b51acdbd4b.gif)
1 #include2 __int64 a[36]; 3 int main() 4 { 5 int n,t=1,i,j; 6 a[0]=a[1]=1; 7 __int64 tmp=0; 8 for(i=2;i<=35;i++) 9 { 10 tmp=0; 11 for(j=0;j) 12 tmp+=a[j]*a[i-j-1]; 13 a[i]=tmp; 14 } 15 while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=-1) 16 { 17 printf("%d %d %I64d\n",t++,n,2*a[n]); 18 } 19 return 0; 20 }