欧几里得算法与不定方程

本文主要介绍数论中的欧几里得算法，线性方程及它们之间的关系。本文主要参考了《数论概论》，因此将本文当成这本书的读书笔记也未尝不可。

(本文正被完善中……)

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欧几里得算法

问题：求60和22的最大公约数（两个数的最大公约数a, b是能够整除它们的最大数，记为gcd(a, b)）。

因为这两个数比较小，所以我们完全可以通过肉眼观察出其最大公约数： 2 。那么对于（ 225,120 ）这一组数呢？我们可以分解两个数的因子：

225=32×52

120=23×3×5

然后求出所有数的约数（ a 的约数 divisor(a) 表示能够整除 a 的数）：

divisor(225)={1,3,5,9,15,25,45,75,225}

divisor(120)={1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120}

它们的公约数

commonDivisor(225,120)={1,3,5,15}

其中最大的 15 就是它们的最大公约数（根据最大公约数的定义）。大功告成，总算让人松了一口气。按照这个方法，不论来什么样的一组数，我们都可以轻松的求它们的最大公约数了。等等，真的是这样吗？那么来看看这一组数：

(1160718174,316258250)

我的天，这题谁爱算谁算吧（溜~）。

下面介绍欧几里得算法，只要掌握了这种算法，就可以用极其快的速度算出两个数的最大公约数，就算是上面那两个天文数字也 OK 。不仅如此，欧几里得算法还很容易通过编程实现，那么就可以利用计算机的计算能力迅速的解决大多数（指的是有机会碰上的）最大公约数的问题，其代码量只有三行。

在介绍算法的具体过程之前，我打算先用文字描述一下这个算法，即使无法很好的说清楚这个算法，也让先有一个大体的概念。

欧几里得算法：可以用以下方法求a, b的最大公约数gcd(a, b)：

1. 计算 r=amodb ，然后令 a=b,b=r 。
2. 重复步骤 1 ，直到 r=0 ，此时 b 就是答案。

下面我们将利用欧几里得算法计算 gcd(1160718174,316258250) ：

1160718174=3  ×316258250+211943424

316258250  =1  ×211943424+104314826

211943424  =2  ×104314826+3313772

104314826  =31×3313772    +1587894

3313772      =2  ×1587894    +137984

1587894      =11×137984      +70070

137984        =1  ×70070        +67914

70070          =1  ×67914        +2156

67914          =31×2156          +1078 (最大公约数)

2156            =2  ×1078          +0

我们只用了 10 次计算就将这两个天文数字的最大公约数计算出来了。下面用一种不严谨的方法证明这种计算方法是对的（为了证明的方便，这里仅以上面的数据为例，不做一般性的证明）：

先证明 1078 是 1160718174 和 316258250 的公约数：
1078 能够整除 2156 （最后一个式子）

因为 1078 能够整除 1078 和 2156 ，所以 1078 能够整除 67914 （倒数第二个式子）

……（以此类推）

因为 1078 能够整除 104314826 和 211943424 ，所以 1078 可以整除 316258250 （第二个式子）

因为 1078 能够整除 316258250 和 211943424 ，所以 1078 可以整除 1160718174 （第一个式子）

再证明 1078 是两数的公约数中最大的那个：

假设 d 为两数的任意公约数

因为 d 能够整除 1160718174 和 316258250 ，所以 d 能够整除 211943424 （第一个式子）

因为 d 能够整除 316258250 和 211943424 ，所以 d 能够整除 104314826 （第二个式子）

……（以此类推）

因为 d 能够整除 67914 和 2156 ，所以 d 能够整除 1078 （倒数第二个式子）

那么 1160718174 和 316258250 的任意公约数都能整除 1078 ，那么 1078 是两数的最大公约数。

简洁而神奇，这就是欧几里得算法。

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扩展欧几里得算法

问题：求方程60x + 22y = gcd(60, 22)的一组解

这是个关于 x,y 的不定方程。我们观察这个方程。方程中有两个未知数，并且有一个奇怪的东西： gcd(60,22) 。为什么这个方程长得如此奇怪呢？这要从一条叫贝祖定理的定理说起：

贝祖定理：设a,b是不全为零的整数，则存在整数x,y，使得ax + by = gcd(a，b)。

所以是因为这个方程的解一定存在，所以我们本着一颗“无聊的心”来考察一下这方程的如何求解。哈哈~

（事实上ax + by的结果一定是gcd(a, b)的整数倍，所以如果要讨论ax + by这种整数线性方程的话，就必然要讨论这个方程）

首先不管方程的解法如何，求出 gcd(60,22) 都是必须的。那我们在复习欧几里得算法的同时求一下 gcd(60,22) ：

设 a=60,b=22 （只是为了简洁），欧几里得算法的过程如下：

a=2×b+16

b=1×16+6

16=2×6+4

6=1×4+2 (最大公约数)

4=2×2+0

于是 gcd(a,b) 等于 2 。现在终于可以来解方程了。首先观察方程。显然，我们可以枚举 x,y 来求解，通过观察可以发现 −4a+11b=2 。但是对于更一般的 a 和 b ，用枚举的方法来解决问题就不一定有效了。这里就必须引入扩展欧几里得算法。同样，先介绍一下扩展欧几里得算法的大致步骤：

1. 将欧几里得算法过程中的第一个式子中的 a, b, r 都用 a, b 表示
2. 将第二个式子中的 a2, b2, r2 也用 a, b 表示
3. 依次将第三，第四，…，第 m 式子中的 am, bm, rm 用 a, b 表示
4. 将倒数第二条式子中的所有量用 a, b 表示，此时可以得到方程的解

具体的步骤如下（下面的每条式子同上述欧几里得算法的每条式子相对应）：

16=a−2b

6=−a+3b

4=3a−8b

2=−4a+11b

上面的最后一条式子就向我们展示了解。这就是扩展欧几里得算法。因为其正确性是显然的，所以这里就不证明了。

问题：求方程ax + by = gcd(a, b)的通解

如果求 60x+22y=2 的解还不够满足的话，我们可以将这个问题的更一般的解找出来。将方程一般化后可以得到方程： ax+by=g ，其中 g=gcd(a,b) 。我们尝试求出这条方程的所有解，也就是其通解。

首先，可以通过上述扩展欧几里得算法求出这条方程的一组解，我们可以将其记为 (x1,y1) 。

其次，我们可以先尝试求 g=1 的情况，也就是 a,b 互质（没有公共因子）的情况。显然，如果将 ax+by=1 的所有解 (x,y) 在平面直角坐标系中以点 (x,y) 的形式画出来，那么这些解一定落在直线 ax+by=1 上。以防有人不明白为什么这个方程的解集落在直线上，我们将方程变形为

y=−abx+1b

这个“斜截式”的方程就比较显然的呈现出一条直线了。那么方程的另一组解就可以表示为直线上的另一个坐标为整数的点

(x1+t,y1−abt)

其中 t 为某个神秘的我们暂时不需要知道是多少的整数。因为 g=gcd(a,b)=1 ，所以 为了保证“ abt 是整数“，必须满足“t为b的倍数” 。否则若 b 既不能整除 a 又不能整除 t ，则 abt 就 不是整数。

好的，现在 t 是 b 的倍数了（之所以先讨论 g=1 , 目的就在于得到这个结论从而简化问题），那么t就可以表示为 k×b ，也就是 t=kb ，将 t 代入 (x1+t,y1−abt) 可得方程的通解的形式

(x1+kb,y1−ka)

其中 k 为任意整数，每个整数对应了方程的一组解。

然后，我们再讨论 g>1 的情况。先将方程 ax+by=g 变形：

agx+bgy=1

问题就转化成了上面一种情况，也就是 a′x+b′y=1，a′=ag,b′=bg,gcd(a′,b′)=1 的情况，那么套用前面的公式，通解就是

(x1+kbg,y1−kag)

问题：求方程ax + by = c的通解

问题：求方程ax + by = g的最小非负解