数学建模之优化问题

采用优化方法时，要明确4个要素，决策变量，目标函数，约束条件是什么。下面进行阐述3种类型的优化处理以及matlab代码。

线性规划问题

用matlab处理一般的线性规划问题的标准型为：
min z=${\sum }_{j=1}^n{c}_j{x}_i$
s.t.${\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i\le b^j$
也就是说标准形式应该满足，目标函数必须是$\le$的形式，约束条件也应该是$\le$的形式。如果目标函数
是
max z=${\sum }_{j=1}^n{c}_j{x}_{i}Ax\ge b$
可以转化为$minz={\sum }_{j=1}^n{c}_j{x}_i-Ax\le -b$形式。

在MATLAB中基本的函数形式是
[c,favl]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS),返回值是最有解的一组向量x.解释如下：
A,b对应不等式的约束
Aeq,beq对应等式的约束
LB,UB分别是变量x的上界和下界
X0是变量的初始值，OPTIONS是控制参数（一般不用管）
例子:
$minz=2x_1+3x_2+x_3$
$$s.t.=\{\begin{array}{rc}{x}_1+4x_2+2x_3\ge 8& \\ 3x_1+2x_2\ge 6& \\ x_1,x_2,x_3\ge 0& \end{array}$$代码如下：

>> c=[2;3;1];
>> a=[1,4,2;3,2,0];
>> b=[8;6];
>> [x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1))
Optimal solution found.
x =    2.0000
         0
    3.0000
y =     7

非线性规划问题

如果目标函数或者约束条件里面有非线性函数，则此种规划问题就是非线性规划问题。在MATLAB中的主要命令是
$X=fmincon(fun,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,Nonlcon,OPTIONS)$
解释如下：
X为返回的最优解
fun是在m文件中定义的目标函数
Aeq.Beq线性等式约束
A,B线性不等式约束
LB,UB是变量x的上下界
Nonlcon是在m文件中定义的非线性约束函数
OPTIONS为优化参数
例子如下:
$minf(x)=x_1^2+x_2^2+8$
$$s.t.=\{\begin{array}{rc}{x}_1^2-x_2\ge 0& \\ -x_1+x_2^2+2=6& \\ x_1,x_2\ge 0& \end{array}$$代码如下：
在fun1.m中写入目标函数：

function f=fun1(x)
f=x(1)^2+x(2)^2+8;

在在fun2.m中写入非线性约束函数
注：如果有多个不等式约束，g则是一个向量，用g(1).g(2)……存储

function [g,h]=fun2(x)
g=-x(1)^2+x(2); %g存储不等式约束
h=-x(1)-x(2)^2+2; %h存储等式约束

主程序命令：

>> edit fun1.m 
>> edit fun2.m 
>> [x,y]=fmincon('fun1',rand(2,1),[],[],[],[],zeros(2,1),[],'fun2',optimset) 
>> Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the default value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the default value of the constraint tolerance.
x =    1.0000
    1.0000
y =   10.0000

x是最优解，y是最优值

整数规化

如果在规划问题中要求变量为整数，则称为整数规划。常见的整数规划问题算法有以下几类：

1. 分支定界法：用于整数线性规划
2. 割平面法：用于整数线性规划
3. 隐枚举法：用于求解0-1整数规划问题
4. 匈牙利法：用于解决0-1规划问题中的指派问题
5. 蒙特卡罗算法：用于各种整数规划中
   下面主要对蒙特卡罗算法和隐枚举法进行阐述：

蒙特卡罗算法：
蒙特卡罗算法又称为随机取样法，顾名思义，就是利用产生随机数进行估测准确值。
比如：
$maxz=x(1{)}^2+x(2{)}^2+3x(3{)}^2+4x(4{)}^2+2x(5)-8x(1)-2x(2)-3x(3)-x(4)-2x(5)$

$$s.t.=\{\begin{array}{rc}0\le x_i\le 99& i=1,2,\dots \dots \\ x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)\le 400& \\ x(1)+2\ast x(2)+2x(3)+x(4)+6\ast x(5)\le 800& \\ 2\ast x(1)+x(2)+6\ast x(3)\le 200& \\ x(3)+x(4)+5\ast x(5)\le 200& \end{array}$$代码如下：
首先建立.m文件

function [f,g]=mengte(x);
f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-x(4)-2*x(5);
g(1)=sum(x)-400;
g(2)=x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800;
g(3)=2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200;
g(4)=x(3)+x(4)+5*x(5)-200;

再编写如下程序求解

 rand('state',sum(clock));
p0=0;
tic
for i=1:10^5 
  x=99*rand(5,1);
x1=floor(x);
x2=ceil(x);
[f,g]=mengte(x1);
if sum(g<=0)==4   
if p0<=f     
 x0=x1;p0=f;   
end
end
[f,g]=mengte(x2);
if sum(g<=0)==4   
if p0<=f     
 x0=x2;
p0=f;  
 end
end
end
x0,p0
toc

结果是:X=x0=(20,92,10,98,11),z=po=47180,用时1.451812 秒。（这也是采用蒙特卡洛算法的好处之一，快！）