题目45：棋盘覆盖

题目链接：

http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=45

描述

在一个2^k × 2^k（1<=k<=100）的棋盘中恰有一方格被覆盖，如图1（k=2时），现用一缺角的2×2方格（图2为其中缺右下角的一个），去覆盖2k×2k未被覆盖过的方格，求需要类似图2方格总的个数s。如k=1时，s=1;k=2时，s=5

输入

第一行m表示有m组测试数据；
每一组测试数据的第一行有一个整数数k;

输出

输出所需个数s;

样例输入

3 1 2 3

样例输出

1 5 21

算法思想：

这道题考察的是大数乘问题。f(k) = (2^(2 * k) - 1)/3，f(k + 1) = (2^(2 * (k + 1)) - 1)/3，故而可以推出f(k + 1) = 4 * f(k) + 1。因为数很大，需要自己写了一个大数乘算法。

大数乘算法思想很简单，使用数组存储乘积，循环遍历数组，将数组的每一位与乘数相乘，乘积与上一次的进位相加复制给进位数，当前位更新为进位数%10，进位数更新为除于10的商（向下取整）。

源代码

/*
Author：杨林峰
Date：2017.10.18
NYOJ（45）：棋盘覆盖
*/
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int nums[65];
int main()
{
    int m, k, carray;
    cin >> m;
    while (m--)
    {
        cin >> k;
        carray = 0;
        memset(nums, 0, sizeof(nums));
        nums[0] = 1;
        for (int i = 1; i < k; i++)
        {
            //因为最低位有加1，故单独计算
            carray += nums[0] * 4 + 1;
            nums[0] = carray % 10;
            carray /= 10;
            for (int j = 1; j < 65; j++)
            {
                carray += nums[j] * 4;   //当前乘积
                nums[j] = carray % 10;  //当前位为当前乘积的个位数
                carray /= 10;           //当前进位数
            }
        }
        int k = 65;
        while (!nums[k]) k--;
        for (int i = k; i >= 0; i--)
            cout << nums[i];
        cout << endl;
    }
    return 0;
}