[poj1191] [NOI1999] 棋盘分割 DP

棋盘分割
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Description

将一个８*８的棋盘进行如下分割：将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形，再将剩下的部分继续如此分割，这样割了(n-1)次后，连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)

原棋盘上每一格有一个分值，一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘，并使各矩形棋盘总分的均方差最小。
均方差，其中平均值，xi为第i块矩形棋盘的总分。
请编程对给出的棋盘及n，求出O’的最小值。
Input

第1行为一个整数n(1 < n < 15)。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数，表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。
Output

仅一个数，为O’（四舍五入精确到小数点后三位）。
Sample Input

3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3
Sample Output

1.633
Source

Noi 99

进行化解，得到σ^2=1/n∑xi^2 - x^2，要使方差最小，只需使∑xi^2最小即可
f[k][x1][y1][x2][y2]，表示左上角坐标(x1,y1)到右下角坐标(x2,y2)区域的棋盘经过k次分割后，各块分值平方和的最小值
转移方程
f[k][x1][y1][x2][y2] = min{
f[0][x1][y1][t][y2]+f[k-1][t+1][y1][x2][y2], (x1 <= t < x2)
f[k-1][x1][y1][t][y2]+f[0][t+1][y1][x2][y2], (x1 <= t < x2) //竖切
f[0][x1][y1][x2][t]+f[k-1][x1][t+1][x2][y2], (y1 <= t < y2)
f[k-1][x1][y1][x2][t]+f[0][x1][t+1][x2][y2] (y1 <= t < y2) //横切
}

#include 
#include
#include
using namespace std;
const double INF = 1000000000;
int a[9][9], sum[9][9];
double f[16][9][9][9][9];
double count(int x1, int y1, int x2, int y2){
    double ans = (double)(sum[x2][y2]-sum[x1-1][y2]-sum[x2][y1-1]+sum[x1-1][y1-1]);
    return ans*ans;
}
int main() {
    int n, total = 0;
    scanf("%d", &n);
    for( int i = 1; i <= 8; i++ )
        for( int j = 1; j <= 8; j++ ) {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            sum[i][j] = sum[i][j-1] + sum[i-1][j] - sum[i-1][j-1] + a[i][j];
            total += a[i][j];
        }
    for( int x1 = 1; x1 <= 8; x1++ )
        for( int y1 = 1; y1 <= 8; y1++ )
            for( int x2 = x1; x2 <= 8; x2++ )
                for( int y2 = y1; y2 <= 8; y2++ ) {
                    f[0][x1][y1][x2][y2] = count(x1,y1,x2,y2);
                }
    for( int k = 1; k < n; k++ )
        for( int x1 = 1; x1 <= 8; x1++ )
            for( int y1 = 1; y1 <= 8; y1++ )
                for( int x2 = x1; x2 <= 8; x2++ )
                    for( int y2 = y1; y2 <= 8; y2++ ){
                        f[k][x1][y1][x2][y2] = (double)(1<<30);
                        for( int t=x1; t0][x1][y1][t][y2]+f[k-1][t+1][y1][x2][y2]);
                            f[k][x1][y1][x2][y2] = min(f[k][x1][y1][x2][y2], f[k-1][x1][y1][t][y2]+f[0][t+1][y1][x2][y2]);
                        }

                        for( int t=y1; t0][x1][y1][x2][t]+f[k-1][x1][t+1][x2][y2]);
                            f[k][x1][y1][x2][y2] = min(f[k][x1][y1][x2][y2], f[k-1][x1][y1][x2][t]+f[0][x1][t+1][x2][y2]);
                        }
                    }
    double ans = f[n-1][1][1][8][8]*1.0/n - ((double)total*1.0/n)*((double)total*1.0/n);
    printf("%.3lf",sqrt(ans));
    return 0;
}