51. N皇后

题目描述

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

上图为 8 皇后问题的一种解法。

给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

每一种解法包含一个明确的 n 皇后问题的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

示例

输入: 4
输出: [
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]

解释: 4 皇后问题存在两个不同的解法。

分析

问题等价于在n*n的棋盘上放置n个皇后，并且保证任何两个皇后不在同一行或同一列或同一斜线上。
用数组保存每个皇后的位置：a[n]表示皇后在第n+1行，第a[n]+1列（因为我用了数组下标为0的空间），这样就为每个皇后确定了不会互相重复的行。接下来初始化数组a，保证数组a中的每个元素的值不重复，这样就保证了任意两个皇后不会在相同的列。
接下来要为每个皇后选择正确的位置要做的就是保证任何两个皇后不在同一斜线上，用回溯法实现：每摆放一个皇后，对它的合理性进行验证，合理则进行下一个皇后的摆放，否则换一个位置放当前皇后，如果所有位置都不合理，那么表明上一个皇后的摆放不合理，回溯到上一层重新选择上一个皇后的摆放位置。直至摆放完最后一个皇后所有位置都合理，表示有一个解成功求出，将其保存或输出完成这一层的回溯。

Code(Java)

class Solution {
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        List<List<String>> lists = new ArrayList<List<String>>();
    	int[] a = new int[n];	//表示皇后在第n+1行，第a[n]+1列
        for(int i = 0; i < n; i++) {	//初始化数组，设为某个可能解
        	a[i] = i;
        }
        backTrack(0, n, a, lists);
        return lists;
    }
    
    public void backTrack(int t, int n, int[] a, List<List<String>> lists) {
    	List<String> list = new ArrayList<String>();
    	if(t == n) {	//已经到最后一个皇后，将得到的结果放入结果集中
    		String s = "";
    		for(int i = 0; i < a.length; i++) {
    			for(int j = 0; j < a.length; j++) {
    				if(a[i] == j) {
    					s = s+"Q";
    				}else {
    					s = s+".";
    				}
    			}
    			list.add(s);
    			s = "";
    		}
    		lists.add(list);
    		return;
    	}else {
    		for(int i = t; i < n; i++) {
    			swap(a, i, t);	//用原本的a[n]替换这里已经使用了的a[i]以确保列值不重复
    			if(ok(a, t)) {	//判断位置是否冲突
    				backTrack(t+1, n, a, lists); //不冲突则判断下一个皇后的位置
    			}
    			swap(a, i, t);
    		}
    	}
    }
    
    public void swap(int[] a, int i, int j) {
    	int t = a[i];
    	a[i] = a[j];
    	a[j] = t;
    }
    
    //判断位置是否冲突，即已经确定好位置的数组是否有在同一斜线的
    public boolean ok(int[] a, int t) {
    	for(int i = 0; i < t; i++) {
    		if(Math.abs(a[i]-a[t]) == Math.abs(i-t)) {
    			return false;
    		}
    	}
    	return true;
    }
}