关于素数的筛选法

筛选方法

1. 简单筛选法

回顾前面我们对判断是否为质数的算法所作的最后的改进：如果一个数没有小于它本身的质因子，那么这个数就是质数。不妨从另一个角度考虑，如果我们知道了一些质数，那么显然，这些质数的2倍，3倍，4倍……都不会是质数，我们就可以将这些2倍，3倍，4倍……的数字“筛”去，这就是解本题的另一种方法——“筛选法”。

大致步骤如下：

（1）当前最大的质数X为2，可能为质数的集合S为[3..10000]。

（2）将X的2倍，3倍，4倍……数字从集合S中删去。

（3）如果集合S为空，则结束；否则转到（4）。

（4）当前最大质数X的值更新为当前集合S中的最小值，返回（2）。

显然，每次从集合S中选取的最小值必定为质数，X的值逐渐增大，集合S逐渐减小。由于集合操作速度慢，且存储量有限，因此，在程序实现中，我们用

ok : array[2..10000] of boolean

来代替集合S，ok[i]＝false表示i不是质数。

对于“筛选法”的改进，主要也体现在两个方面——枚举要筛选的质数和筛选的过程。

2. 对要筛选的质数范围的改进

假设要求的质数上限为N，那么显而易见，根据“枚举法”的一个结论，即一个数若不是质数，则必然含有小于 的质因子。因此，“筛选法”所要枚举的质数仅仅限于 的范围内，对于其他大于 的质数，只需打印，无须进行“筛选”。

事实上，本次改进的效果并不是特别明显，因为，大于 的质数即使进行筛选，由于其本身数值大，所以在N范围内可被筛选的数并不是很多。

3. 对筛选过程的改进

我们注意到，所有质数，除2以外，都是奇数。换句话说，所有偶数，除2以外，都不是质数。

应用这个性质，我们将2作为特例进行特殊处理后，每次用求得的一个质数（必然为奇数）进行筛选时，不要2倍，3倍，4倍……的筛选了，只要3倍，5倍，7倍……筛选即可（因为奇数×偶数＝偶数）。如此，“筛选法”效率从理论上就提高了1倍！

至此，“筛选法”已经被改进得非常优秀了。事实上，“枚举法”和“筛选法”的改进之外还有许多，但编程的复杂度也会随之不断上升！（在竞赛中，求质数仅仅可能是某道题目的一个部分，应用上面的方法就已经足够了）

 

三、枚举法与筛选法的比较

这样，我们求质数时就有了两种不同的方法：“枚举法”和“筛选法”。现在，让我们从理论上来比较它们的运行效率。

“枚举法”对于每个数都要枚举所有小于该数平方根的质数来判断，并根据最后改进的程序运行，比较次数见下表。

上限N	1000	10000	100000	500000	1000000
判断次数	1804	33756	644439	5209011	12927405
比例	1﹕1.8	1﹕3.4	1﹕6.4	1﹕10	1﹕12
运行时间	0.01s	0.01s	0.50s	4.90s	10.05s

我们看到，随着N的增加，判断次数的增加将是非常惊人的。

“筛选法”是对每个质数（奇数）计算其倍数来筛选。同样根据“筛选法”最后改进的程序运行，“筛选”次数即赋值false的次数，见下表。

上限N	1000	10000	100000	500000	1000000
判断次数	457	5995	71556	391987	811068
比例	1﹕0.46	1﹕0.60	1﹕0.72	1﹕0.78	1﹕0.81
运行时间	0.01s	0.01s	0.11s	0.38s	0.77s

可见，“筛选法”的效率要大大优于“枚举法”。

虽然在时间效率上，“筛选法”比“枚举法”要强许多，但是，大家可能会发现一个问题，即当上限N非常大的时候，“筛选法”的空间如何能够存储下（需要开一个1～N的boolean数组）呢？其实这是可以解决的。

在所开的boolean数组中，只需要记录下奇数的情况，这样原本需筛去数组中a值的3，5，7，……倍，而新数组中a=2*i+1，其所处的位置位于i=(a-1) div 2，而其3倍的值则位于(3*a－a) div 2＋i＝a＋i，同理，其5，7，……倍的值则分别位于2*a＋i，3*a＋i，……的位置，这样可以节约一半的空间。