《统计学》笔记：第10章 方差分析

【批：我们用如下的例子来介绍方差分析中各个名词的含义。假设我们想要研究班级对学生及格率的是否有显著影响，因此我们在实验班、重点班、普通班中各抽取一些学生，计算这些学生的及格率，并通过验证各班学生及格率的均值是否相等来判断班级对及格率是否有显著影响。】

方差分析 analysis of variance / ANOVA

方差分析就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型【批：定类变量】自变量对数值型【批：定距变量 / 定比变量】因变量是否有显著影响。【批：在我们使用的例子中，不同的班级即为分类型（定类）自变量，学生的及格率即为数值型（定距 / 定比）因变量】

因素 / 因子 factor

在方差分析中，所要检验的对象称为因素或因子(factor)。【批：在我们使用的例子中，班级是我们要检验的对象，即因素/因子】

水平 / 处理 treatment

因素的不同表现称为水平或处理。【批：在我们的例子中，实验班、重点班、普通班是班级这一因素的具体表现，即水平/处理】

观测值 observed value

每个因子水平下得到的样本数据称为观测值。【批：在我们的例子中，各个班级下得到的样本数据，即各班抽取学生的及格率为观测值】

总平方和 / 总误差 sum of squares for total / SST

反映全部数据误差大小的平方和称为总平方和，记为SST，它反映了全部观测值的离散状况。【批：在我们的例子中，抽取的所有学生及格率的方差即为总误差】

组内平方和 / 误差平方和 / 残差平方和 / 组内误差 sum of squares for error / SSE

反映组内误差大小的平方和称为组内平方和，记为SSE，它反映了每个样本内各观测值的离散状况。【批：在我们的例子中，每个班内抽取的几个样本的方差即为组内误差】

组间平方和 / 因素平方和 / 组间误差 sum of squares for factor A / SSA

反映组间误差大小的平方和称为组间平方和，记为SSA，它反映了样本均值之间的变异程度。【批：在我们的例子中，各个班级之间的方差即为组间误差】

单因素方差分析 one-way analysis of variance

根据所分析的分类型自变量【批：即因子】的多少，方差分析可分为单因素方差分析和双因素方差分析。当方差分析中只涉及一个分类型自变量时称为单因素方差分析。

方差分析表 analysis of variance table

为使计算过程更加清晰，通常将方差分析的计算步骤和过程列在一张表内，这就是方差分析表。其一般形式如下：

差异来源	离差平方和SS	自由度	均方MS	F值
组间	SSA	k-1	MSA	MSA/MSE
组内	SSE	n-k	MSE
全部	SST	n-1

多重比较方法 multiple comparison procedures

如果通过方差分析，发现各水平的均值不完全相同；当需要分析这种差异到底出现在哪些水平之间，所使用的方法就是多重比较方法，它是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异。

最小显著差异方法 least significant difference

多重比较方法有许多种，这里介绍由费希尔提出的最小显著差异方法，缩写为LSD。使用该方法进行检验的具体步骤为：

• 第1步：提出假设：H0：μi=μj；H1：μi≠μj

• 第2步：计算检验统计量：i组样本均值-j组样本均值

• 第3步：计算LSD，其公式为：

$$LSD=t_{\frac{a}{2}}\sqrt{MSE(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j})}$$

式中，其自由度为n-k，这里的k是因素中水平的个数，MSE为组内方差，ni和nj分别是第i个样本和第j个样本的样本量

• 第4步：根据显著性水平α做出决策

双因素方差分析 two-way analysis of variance

当方差分析中涉及两个分类型自变量时，称为双因素方差分析。

无重复双因素分析 / 无交互作用的双因素分析 two-factor without replication

如果双因素方差分析中的两个分类型自变量的影响是相互独立的，则称这种双因素方差分析为无交互作用的双因素方差分析，或称无重复双因素分析。

可重复双因素分析 / 有交互作用的双因素方差分析 two-factor with replication

如果双因素方差分析中的两个因素结合后产生了新效应，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析，或称为可重复双因素分析。