完全理解窗函数

完全理解窗函数

一个星期终于搞懂了窗函数。以下为我的理解过程。
当输入一个信号x(t)，我们需要截取它其中的一段来进行研究，就可以用加窗来实现，这里窗长就是截取长度。但因为之后我们会研究截取信号的频谱，需要对其进行傅里叶变换，而傅里叶变换又是作用于正负无穷的，所以要先对截取信号进行周期扩展。此时，若截取为整周期截取，周期扩展之后还是原信号，因此不会出现频谱泄露；若为非整周期截取，或信号根本就不是周期信号，截取信号不能表示整个信号，周期扩展之后信号的频谱会在每个周期相连的地方出现高次谐波，（高次谐波的产生可以大致地理解为周期扩展之后，时域上不再像原来一样连续，两个周期之间出现间断点，这个现象又叫Gibbs现象）这就是频谱泄露。这里可以延伸出一个如何选择窗函数来减小频谱泄露的问题。即要求窗函数频谱的主瓣尽量窄、旁瓣衰减尽量大。但二者不可兼得，因此要根据实际需求选择窗函数。主瓣越窄的窗函数的频率识别精度越高；旁瓣衰减越大的窗函数的幅度识别精度越高。对窗函数的用途有了大致了解之后，再来从原理上研究一下。
联想之前学过系统的单位冲击响应可以衡量系统特性，因此可以把窗函数看成一个系统，对它输入一个单位冲激信号，系统输出h(t)就是单位冲击响应。接下来研究系统频响，即将h(t)做傅里叶变换，经过变换可以得到系统的幅频响应和相频响应。通过幅频响应可以得到窗函数的截止频率，即可得到主瓣宽度。也可绘制对数幅度谱进行直观地观察。这里需要注意的是对数幅度谱的横坐标是归一化的频率，纵坐标是单位为/dB。h为系统频响，这里的函数abs不是求绝对值，而是求复数幅值的。对数变换的优点是可以让波动相对稳定，压缩变换范围，突出低频。

最后，对一个输入信号x(t)（可以看成载波）加窗w(t)（可以看成调制信号），相当于时域相乘， 频域卷积。