随机过程(二)泊松过程

文章目录

  • 1. 定义
  • 2. 基本性质
    • 2.1 数字特征
    • 2.2 时间间隔与等待时间的分布
    • 2.3 到达时间的条件分布
  • 3. 非齐次泊松过程
  • 4. 复合泊松过程

泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。

1. 定义

计数过程
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不同时间段内增量相互独立——独立增量过程
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不同时间段内增量仅与时间差有关——平稳增量过程
在这里插入图片描述
泊松过程
随机过程(二)泊松过程_第3张图片
由定义可知,泊松过程既是独立增量过程,也是平稳增量过程。
根据这个定义来判断是否是泊松过程,则需要判断是否满足三个条件。条件1容易判断;条件2通常可以通过对过程了解的情况去验证;条件3是较为难检验的。因此给出下面另一个定义。
随机过程(二)泊松过程_第4张图片
简单理解即是,在充分小的时间内,最多有一个事件发生。

2. 基本性质

2.1 数字特征

均值函数
在这里插入图片描述
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方差函数
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自相关函数
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协方差函数
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特征函数
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2.2 时间间隔与等待时间的分布

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泊松过程时间间隔序列的分布是指数分布
在这里插入图片描述
该定理的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得到的,改假设的概率意义是指过程在任意时刻都得从头开始,即从任何时刻起过程独立于先前已经发生的一切(独立);且有与原过程完全一样的分布(平稳)。

泊松过程等待时间的分布是 Γ \Gamma Γ分布,该分布也叫爱尔兰分布
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2.3 到达时间的条件分布

在这里插入图片描述
证明
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3. 非齐次泊松过程

对泊松过程进行推广,允许时刻t的来到强度(速率)是t的函数。
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非齐次泊松过程的概率分布
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4. 复合泊松过程

定义
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例子
随机过程(二)泊松过程_第13张图片
复合泊松过程的性质
随机过程(二)泊松过程_第14张图片

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