随机过程（二）泊松过程

泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。

1. 定义

计数过程

不同时间段内增量相互独立——独立增量过程

不同时间段内增量仅与时间差有关——平稳增量过程

泊松过程

由定义可知，泊松过程既是独立增量过程，也是平稳增量过程。
根据这个定义来判断是否是泊松过程，则需要判断是否满足三个条件。条件1容易判断；条件2通常可以通过对过程了解的情况去验证；条件3是较为难检验的。因此给出下面另一个定义。

简单理解即是，在充分小的时间内，最多有一个事件发生。

2. 基本性质

2.1 数字特征

均值函数


方差函数

自相关函数

协方差函数

特征函数

2.2 时间间隔与等待时间的分布

泊松过程时间间隔序列的分布是指数分布

该定理的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得到的，改假设的概率意义是指过程在任意时刻都得从头开始，即从任何时刻起过程独立于先前已经发生的一切（独立）；且有与原过程完全一样的分布（平稳）。

泊松过程等待时间的分布是$\Gamma$分布，该分布也叫爱尔兰分布

2.3 到达时间的条件分布

证明

3. 非齐次泊松过程

对泊松过程进行推广，允许时刻t的来到强度（速率）是t的函数。

非齐次泊松过程的概率分布

4. 复合泊松过程

定义

例子

复合泊松过程的性质