随机过程（三）平稳随机过程

1. 定义

由于严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数来决定的，在应用中比较难以确定，而宽平稳过程的判别只涉及一、二阶矩的确定，在实际中比较容易获得，因此主要研究宽平稳过程。并且我们把宽平稳过程简称为严平稳过程。这种仅研究与过程一、二阶矩有关性质的理论，就是所谓的相关理论。
对于正态过程，由于其宽平稳性与严平稳性是等价的，故用相关理论研究是方便的。

统计特性
当过程随时间的变化而产生随机波动时，其前后状态是相互联系的，且这种联系不随时间的推延而改变。
定义：严平稳过程

定义：宽平稳过程

2. 联合平稳过程及相关函数的性质

2.1 联合平稳过程

上式最后两项是X(t)和Y(t)的互相关函数，为使输出过程为平稳过程，则这两项必须与t无关。

2.2 相关函数的性质

相关函数的性质

证明

互相关函数的性质

证明

3. 随机分析

在微积分中，连续、导数、积分等概念都是建立在极限概念的基础上。对于随机过程的分析，也需要建立随机过程的连续性、导数和积分的概念，这些概念是建立在随机序列极限的基础上。这部分内容统称为随机分析。
在随机分析中，随机序列极限的定义有多种，我们介绍几种常用的定义。由于主要研究宽平稳过程，因此以下的随机过程都假定为二阶矩过程。

3.1 收敛性概念

微积分中的收敛

随机序列收敛的严格定义

较弱的收敛定义——不一定要求对每个$e$都收敛




以上四种弱收敛定义的关系

均方极限的性质

3.2 均方连续

均方连续准则及推论

随机过程的均方连续不能导致样本轨道的连续。

3.3 均方导数

定义

均方可微准则

推论

3.4 均方积分

定义

均方可积准则



“牛顿—莱布尼茨公式”

4. 平稳过程的各态历经性

平稳随机过程的统计特征完全由前二阶矩函数确定，我们知道，对于固定的时刻t，均值函数和协方差函数是随机变量X(t)的取值在样本空间$\Omega$上的概率平均，是由X(t)的分布函数确定，通常很难求得。但是时间平均相对更容易求得，因此我们希望在某种情况下可以用时间平均代替统计平均。
统计平均（集合平均）

时间平均

大数定律

均值具有各态历经性

相关函数具有各态历经性

各态历经性

只要观测时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能状态。随机过程的这种特性就是所谓的遍历性或埃尔古德性，或叫各态历经性。

均值具有各态历经性的充要条件


相关函数具有各态历经性的充要条件

要严格验证平稳过程是否满足各态历经性是比较困难的, 但是各态历经性定理的条件较宽，工程中所遇到的平稳过程大多数都能满足此条件。
在实际应用中,只考虑0≤t<$\infty$上的均方连续的平稳过程, 此时:
对于均方连续平稳过程{X(t),0≤t<$\infty$}有以下定理

各态历经性的意义
一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替过程的集合平均，即

若样本函数X(t)只在有限区间[0,T]上给出，则对于实平稳过程有下列估计式：

若样本函数X(t)只在有限区间[0,T]上给出N个采集样点，则对于实平稳过程有下列估计式：

因此，在工程中，要计算随机过程的均值与相关函数，或者方差函数和协方差函数时，通常就是按照上面给出N个样本函数采集点来进行计算的。我们在仿真实验中，也是按照上面的公式来进行模拟的。