图论-最短路

用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

图G=（V,E）V：点（事件），E：边（点与点之间的关系）

Floyd算法 ：

O=V^3。

插点法， 从图的 带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n 开始， 递归 地进行n次更新。

即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。

矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。

map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}； //map[i,j]表示i到j的最短距离，k是穷举i,j的断点。

Dijkstra算法 ：

O=V^2。

基于 点 的迭代（每次找最短的那个 点 ），它只能求正权最短路。

负权回路：走一圈是负数（不存在最短路）

如果边有负，则该算法可能会有错误。

Bellman-ford算法：

O=|V|*|E|。

基于 边的迭代。

稳定、支持负权。

无回路：n个点，n-1条边

x能否对y松弛：

rel=false；

for每条边（x，y）

if ((dis[x]+len[x][y])

rel=true；

外圈循环n次：判断负权回路。

边表：struct里定义x（起点）、y（终点）、v（权值），然后e[i].x、e[i].y、e[i].v

例题：香甜的奶油（边）、虫洞（连通图、判断有没有负权回路）。

SPFA算法：

对迭代的改进：用队列存放刚被松弛过的点。（出队后标记为真再改成假）

for(int i=link[x];i;i=e[i].next)

if(vis[i]=false)vis[i]=true;

......

vis[i]=false;//出队列再标记为假

怎么判断图上的负环：某个点被更新n次（进队次数>=n）。