编程之美_2.2_不要被阶乘吓倒

问题描述

1、给定一个整数N，阶乘N！末尾有多少个0

2、求N！的二进制表示中最低位1的位置

1、给定一个整数N，阶乘N！末尾有多少个0

举例：10！＝3 628 800，则 N！的末尾有两个0

思路：

 

即，知道 Z ，就知道N！中含有0的个数

方法一：求出1~N中每一个数被5整除的因子的个数，比较笨

代码：

//统计 1-N 中被5整除的因子的总个数 
int FindZeroNum(int N)
{
	int nCount = 0;
	for (int i = 5;i < N + 1;i++)
	{
		int nCur = i;
		while(nCur % 5 == 0)//统计nCur中被5整除的因子的个数，即有几个5  
		{
			nCount++;
			nCur /= 5;
		}
	}
	return nCount;
}

方法二：

举例：N = 25 ，即1~25

5的倍数(5,10,15,20,25)贡献一个5

25的倍数贡献一个5

虽然25可以贡献两个5，但是已经在5的倍数中贡献一次了，所以这里就统计一次

也就是说，对于每一个5 ^{^M},N只统计一次5，虽然它本身有多个5的质因数，但是已经在前面M-1计算过，所以只需统计一次即可

代码

int FindZeroNum(int N)//每次迭代，就求出多少个5^M贡献5
{
	int nCount = 0;
	while(N)
	{
		N = N / 5; //1-N能奉献多少个5
		nCount += N;
	}
	return nCount;
}

2、求N!的二进制表示中最低位1的位置

举例：N = 3，N！ = 6，6的 二进制1010 最低位1在第二位

问题分析

方法一：

代码

int FindLowestOne(int nNum)
{
	assert(nNum > 0);
	int nCount = 0;
	int N = nNum;
	while(N)
	{
		N = N >> 1;
		nCount += N;
	}
	return nCount + 1;
}

代码说明：

假设是8! 有1 2 3 4 5 6 7 8

第一次循环： 则它有 2 4 6 8四个具有2的质因数

第二次循环： 2 4 6 8变为 1 2 3 4 则只有 2 4具有2的质因数

第三次循环：2 4 变为 1 2 则只有2 具有2的质因数

方法二：

代码

/*nNum的二进制中包含1的个数*/
int FindOneNum(int nNum)
{
	int nCount = 0;
	while(nNum)
	{
		nCount++;
		nNum = nNum & (nNum - 1);
	}
	return nCount;
}
/*nNum中最低1的位置*/
int FindLowestOne(int nNum)
{
	assert(nNum > 0);
	return nNum - FindOneNum(nNum) + 1;
}

思考题

给定正整数N，判断其是否为2的方幂

问题等价于：判断 N 的二进制表示中是否只有一位为1

方法：

即为判断条件：N >0 且 N & (N-1) = 0