练习Day——15（动态规划）
动态规划
目录
- 动态规划
-
- 01背包问题
- 装箱问题
- 方格取数
- 传纸条
- 数的划分
- 传球游戏
- 入学考试
- 开心的金明
01背包问题
题目描述
一个旅行者有一个最多能装 M 公斤的背包，现在有 n 件物品，它们的重量分别是W1，W2，…,Wn,它们的价值分别为C1,C2,…,Cn，求旅行者能获得最大总价值。
输入
第一行：两个整数，M(背包容量，M≤200)和N(物品数量，N≤30)；
第2…N+1行：每行二个整数Wi，Ci，表示每个物品的重量和价值。
输出
仅一行，一个数，表示最大总价值。
样例输入
10 4
2 1
3 3
4 5
7 9
样例输出
12
题目解析
声明一个大小为dp[n][m]的二维数组，dp[i][j]表示在要装第i件物品且背包容量为j时的最大价值。
因此，可以分为几种情况讨论：
（1）j
2、如果不拿，dp[i][j]=dp[i-1][j];
需要比较这两种情况哪个能获得更大的价值，即选择Math.max(dp[i-1][j-w[i]]+c[i],dp[i-1][j]);
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[]args) {
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int m,n;
m=scan.nextInt();//背包容量
n=scan.nextInt();//物品数量
int w[]=new int[m+1];//重量
int c[]=new int[n+1];//价值
for(int i=1;i<=n;i++) {
w[i]=scan.nextInt();
c[i]=scan.nextInt();
}
scan.close();
int dp[][]=new int[n+1][m+1];
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=m;j++) {
if(j>=w[i])
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j-w[i]]+c[i],dp[i-1][j]);
else
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
System.out.println(dp[n][m]);
}
}
装箱问题
题目描述
有一个箱子容量为V（正整数，0＜＝V＜＝20000），同时有n个物品（0＜n＜＝30），每个物品有一个体积（正整数）。
要求n个物品中，任取若干个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
输入
第一行为一个整数，表示箱子容量；
第二行为一个整数，表示有n个物品；
接下来n行，每行一个整数表示这n个物品的各自体积。
输出
一个整数，表示箱子剩余空间。
样例输入
24
6
8
3
12
7
9
7
样例输出
0
import java.util.Scanner;
//装箱问题
public class Main {
public static void main(String[]args) {
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int v=scan.nextInt();//箱子容量
int n=scan.nextInt();//n个物品
int num[]=new int[n+1];//n个物品各自体积
for(int i=1;i<=n;i++)
num[i]=scan.nextInt();
scan.close();
int res=1000000;
int dp[][]=new int [n+1][v+1];
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=v;j++) {
if(j>=num[i])
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-num[i]]+num[i]);
else
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
if(res>v-dp[i][v])
res=v-dp[i][v];
}
System.out.println(res);
}
}
方格取数
题目描述
设有N*N的方格图(N< =10),我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。
某人从图的左上角的A 点(1,1)出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点(N,N)。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。
输入
输入的第一行为一个整数N（表示N*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。
输出
只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。
样例输入
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0
样例输出
67
题目解析
四维dp。假设有两个人在方格中走，dp[i][j][k][l]表示当第一个人走到坐标（i，j），第二个人走到坐标（k，l）时取得的最大值的和。一个人走到（i，j）有两种方式，一种是向下行走，从（i，j-1）走到的；另一种是向右行走，从（i-1，j）走到的。因此两个人就拥有四种情况，要取这四种情况中的最大值。
注意：当两个人同时走到一个格子时，格子的值只能加一次。
import java.util.Scanner;
//方格取数
public class Main {
public static void main(String[]args) {
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int n=scan.nextInt();//方格大小
int square[][]=new int [n+1][n+1];
int a,b,c;
while(true) {
a=scan.nextInt();
b=scan.nextInt();
c=scan.nextInt();
if(a==0 && b==0 && c==0)
break;
else
square[a][b]=c;
}
scan.close();
int dp[][][][]=new int[n+1][n+1][n+1][n+1];
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
for(int k=1;k<=n;k++) {
for(int l=1;l<=n;l++) {
//两个人的四种运动情况
int t1=Math.max(dp[i-1][j][k-1][l], dp[i-1][j][k][l-1]);
int t2=Math.max(dp[i][j-1][k][l-1], dp[i][j-1][k-1][l]);
int t3=Math.max(t1, t2);
if(i!=k && j!=l)//如果坐标不相等，即两人不在同一位置，则都加进去
dp[i][j][k][l]=t3+square[i][j]+square[k][l];
else//如果坐标相等，即两人在同一位置，则只加一次
dp[i][j][k][l]=t3+square[i][j];
}
}
}
}
System.out.println(dp[n][n][n][n]);//两人都走到最后一个方格时的值即为最大值
}
}
传纸条
题目描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。 从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-100的自然 数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度只和最大。 现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。
数据规模和约定
100%的数据满足：1< =m,n< =50
输入
输入第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（1< =m,n< =50）。
接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度。每行的n个整数之间用空格隔开。
输出
输出一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
样例输入
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
样例输出
34
import java.util.Scanner;
//传纸条
public class Main {
public static void main(String[]args) {
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int m=scan.nextInt();
int n=scan.nextInt();
int num[][]=new int[m+1][n+1];
for(int i=1;i<=m;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
num[i][j]=scan.nextInt();
}
}
scan.close();
int dp[][][][]=new int[m+1][n+1][m+1][n+1];//dp[i][j][k][l]表示一个人传到i,j,另一个人传到k,l时取得的最大值的和
for(int i=1;i<=m;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
for(int k=m;k>=1;k--) {
for(int l=n;l>=1;l--) {
int t1=Math.max(dp[i-1][j][k-1][l], dp[i][j-1][k][l-1]);
int t2=Math.max(dp[i-1][j][k][l-1], dp[i][j-1][k-1][l]);
int t3=Math.max(t1, t2);
if(i!=k && j!=l)
dp[i][j][k][l]=t3+num[i][j]+num[k][l];
else
dp[i][j][k][l]=t3+num[i][j];
}
}
}
}
System.out.println(dp[m][n][m][n]);
}
}
数的划分
题目描述
一个正整数可以划分为多个正整数的和，比如n=3时：
3；1＋2；1＋1＋1；
共有三种划分方法。
给出一个正整数，问有多少种划分方法。
数据规模和约定
n< =100
输入
一个正整数n
输出
一个正整数，表示划分方案数
样例输入
3
样例输出
3
题目解析
do[i][j]表示对数字i进行不大于j的拆分，一共有多少种拆分方法。
首先初始化1、dp[i][1]=1，把这个数划分为不大于1的方法只有一种，即拆分的每一项都为1；
2、dp[0][j]=1，把0划分的方法只有一种。
当i>=j时，dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];其中dp[i][j-1]表示划分的每一个数都小于j，dp[i-j][j]表示划分后至少有一个数字等于
当j>i时，dp[i][j]=dp[i][j]；划分方法就是将数字划分为不大于本身。
import java.util.Scanner;
//数的划分
public class Main {
private static int MAX = 101;
public static void main(String[]args) {
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int n=scan.nextInt();
scan.close();
int dp[][]=new int[MAX][MAX];
for(int i=0;i<=n;i++) {
dp[i][1]=1;
dp[0][i]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
if(i>=j)
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
else
dp[i][j]=dp[i][i];
}
}
System.out.println(dp[n][n]);
}
}
传球游戏
题目描述
上体育课的时候，小蛮的老师经常带着同学们一起做游戏。这次，老师带着同学们一起做传球游戏。
游戏规则是这样的：n个同学站成一个圆圈，其中的一个同学手里拿着一个球，当老师吹哨子时开始传球，每个同学可以把球传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当老师再次吹哨子时，传球停止，此时，拿着球没传出去的那个同学就是败者，要给大家表演一个节目。
聪明的小蛮提出一个有趣的问题：有多少种不同的传球方法可以使得从小蛮手里开始传的球，传了m次以后，又回到小蛮手里。两种传球的方法被视作不同的方 法，当且仅当这两种方法中，接到球的同学按接球顺序组成的序列是不同的。比如有3个同学1号、2号、3号，并假设小蛮为1号，球传了3次回到小蛮手里的方 式有1-> 2-> 3-> 1和1-> 3-> 2-> 1，共2种。
数据规模和约定
100%的数据满足：3< =n< =30，1< =m< =30
输入
共一行，有两个用空格隔开的整数n，m（3< =n< =30，1< =m< =30）。
输出
t共一行，有一个整数，表示符合题意的方法数。
样例输入
3 3
样例输出
2
题目解析
dp[i][j]表示传i次球，传给第j个人的方法数。
（1）dp[1][n]=1 表示传一次球，传到第n个人，有一种方法
dp[1][2]=1 表示传一次球，传到第2个人，有一种方法
dp[0][1]=1 表示自己传给自己
（2）1、如果 j= =1，即传给第一个人时，有两种情况，可能是第2个人传来的，也可能是第n个人传来的，因此dp[i][j]=dp[i-1][n]+dp[i-1][2];
2、如果j==n，即传给第n个人时，有两种情况，可能是第1个人传来的，也可能是第n-1个人传来的，因此dp[i][j]=dp[i-1][1]+dp[i-1][n-1];
3、一般情况下也有两种可能，分别是左右两边传来的，因此dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j+1];
import java.util.Scanner;
//传球游戏
public class Main {
public static void main(String[]args) {
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int n=scan.nextInt();//n个同学
int m=scan.nextInt();//传m次球
scan.close();
int dp[][]=new int [m+1][n+1];//dp[i][j]表示传i次球，传到第j个人的方法数
dp[1][n]=1;//传一次球，传到第n个人，有一种方法
dp[1][2]=1;//传一次球，传到第2个人，有一种方法
dp[0][1]=1;//自己传给自己
for(int i=1;i<=m;i++) {
for(int j=1;j<=n;j++) {
if(j==1)
dp[i][j]=dp[i-1][n]+dp[i-1][2];
else if(j==n)
dp[i][j]=dp[i-1][1]+dp[i-1][n-1];
else
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j+1];
}
}
System.out.println(dp[m][1]);
}
}
入学考试
题目描述
辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界 上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子， 这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明 的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”
如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？
数据规模和约定
对于全部的数据，M < = 100。
输入
第一行有两个整数T（1 < = T < = 1000）和M（1 < = M < = 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整 数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
输出
包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
样例输入
70 3
71 100
69 1
1 2
样例输出
3
import java.util.Scanner;
//入学考试
public class Main {
public static void main(String[]args) {
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int t=scan.nextInt();//用来采草药的时间
int m=scan.nextInt();//草药的数目
int time[]=new int[m+1];//采到这株草药用的时间
int value[]=new int[m+1];//这株草药的价值
for(int i=1;i<=m;i++) {
time[i]=scan.nextInt();
value[i]=scan.nextInt();
}
scan.close();
int dp[][]=new int [m+1][t+1];
for(int i=1;i<=m;i++) {
for(int j=1;j<=t;j++) {
if(j>=time[i])
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j-time[i]]+value[i], dp[i-1][j]);
else
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
System.out.println(dp[m][t]);
}
}
开心的金明
题目描述
金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1~5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1，j2，……，jk，则所求的总和为：
v[j1]*w[j1]+v[j2]*w[j2]+ …+v[jk]w[jk]。（其中为乘号）
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入
输入第1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
N m
（其中N（<30000）表示总钱数，m（<25）为希望购买物品的个数。）
从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j-1的物品的基本数据，每行有2个非负整数
v p
（其中v表示该物品的价格(v<=10000)，p表示该物品的重要度(1~5)）
输出
输出只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（<100000000）。
样例输入
1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2
样例输出
3900
import java.util.Scanner;
//开心的金明
public class Main {
public static void main(String[]args) {
Scanner scan=new Scanner(System.in);
int N=scan.nextInt();//总钱数
int m=scan.nextInt();//希望购买的物品个数
int v[]=new int[m+1];//物品的价格
int w[]=new int[m+1];//物品的重要度
for(int i=1;i<=m;i++) {
v[i]=scan.nextInt();
w[i]=scan.nextInt();
}
scan.close();
int dp[][]=new int[m+1][N+1];
for(int i=1;i<=m;i++) {
for(int j=1;j<=N;j++) {
if(j>v[i])
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j-v[i]]+w[i]*v[i], dp[i-1][j]);
else
dp[i][j]=dp[i-1][j];
}
}
System.out.println(dp[m][N]);
}
}