硬核总结！真二叉树、满二叉树、完全二叉树的性质与概念

树形结构

这是我们最熟悉的线性结构，线性结构的数据简单来说就是一条线，串起来一个个的节点。

那树形结构是怎样的呢？很明显，顾名思义，它是一棵树的样子。

将这棵树进行180度大翻转，就成了数据结构中的树形结构了

可以初步看出，二叉树就是每个节点要么没有分枝，要么就是分两根枝，而多叉树的每个节点可以有任意的分枝。

生活中的树形结构

文件夹的管理就是我们生活中最常见的树形结构

如下图就是上图文件夹组织形式的树化形式，可以看出我，文件夹的管理是一棵多叉树，一个文件夹下可以有很多子文件夹。

将文件归类，易于我们查找到想要查找的文件，因此，树形结构可以大大提高效率。

树的基本概念

节点：上图树中每个圆圆的就是节点。

根节点：位于树中最顶端的节点就是整棵树的根节点。

父节点和子节点：一个节点分叉出来的就是该节点的子节点，而该节点就是这些子节点的父节点。如图，8这个节点分了三根枝，分别是13、14、15，因此，13、14、15号节点是8号节点的子节点，而8号节点是13、14、15号节点的父节点。

兄弟节点：同属一个父亲的节点相互称为兄弟节点。如上图中的13、14、15号节点共同拥有8号节点这个父亲，因此13、14、15号节点互相成为兄弟节点。

子树，左子树、右子树：一棵树中由很多小小的子树组成，如下图，以2号为根也可以构成一棵树，它是整棵树中的其中一棵子树，如果一个节点的分枝有左右之分，那么一个节点的左分枝构成的子树则称为左子树，一个节点右分枝构成的子树为右子树。如2号节点的左分枝7为根组成的子树则称为2的左子树，2号节点的右分枝8为根组成的子树则称为2的右子树。

• 一棵树可以没有任何节点，称为空树
• 一棵树可以只有一个节点，也就只有根节点

节点的度：子树的个数，如上图树中的2号节点的度为2，因为他有7号根组成的子树和8号根组成的子树，1号节点的度为5。

树的度：所有节点度中的最大值，从上图树中可以看出，1号节点的度为5，是整棵树的节点度中的最大值，因此树的度为5。

叶子节点：度为0的节点，如上图树中的7、13、14、15、9、10、11、12号节点。

非叶子节点：度不为0的节点。

层数：根节点在第1层，根节点的子节点在第2层，以此类推（有些教材也从第0层开始算）

节点的深度：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数

节点的高度：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数。

如上图树中2号节点的深度为2，高度为3，因为从根节点到2号节点的唯一路径上的节点总数为2，从2号节点到最远叶子节点(13、14或15)的路径上的节点总数为3。

树的深度：所有节点深度中的最大值，很明显，该树的深度为4，从根节点到13、14或者15节点路径上的节点总数是4，而13、14、15节点的深度是树中所有节点深度中的最大值。

树的高度：所有节点高度中的最大值，很明显，该树的高度也为4，13、14或15是最远叶子节点，从根节点到这三个最远叶子节点的路径上的节点总数是4，而根节点的高度是树中所有节点高度中的最大值。

树的深度等于树的高度。

二叉树

• 每个节点的度最大为2（最多拥有两棵子树）
• 左子树和右子树是有顺序的
• 即使某节点只有一棵子树，也要区分左右子树

可以看出，二叉树有着严格的定义，最基本的就是每个节点最多只能拥有两棵子树，分为左右子树，左子树或右子树可以为空。

二叉树的性质

• 非空二叉树的第i层，最多个节点（）
• 在高度为h的二叉树上最多有个节点（），即先计算每层最多节点，然后h层相加结果（等比数列求和公式）
• 对于任何一课非空二叉树，如果叶子节点个数为n0，度为2的节点个数为n2，则有n0 = n2 + 1.

推导：假设度为1的节点个数为n1，那么二叉树的节点总数n = n0 + n1 + n2

由于二叉树出了根节点之外，每个节点都有一条边和父节点联系，因此二叉树的变数为n-1。所以二叉树的边数

T = n1 + 2*n2 = n - 1 = n0 + n1 + n2 - 1。最后得到n0 = n2 + 1。

真二叉树（Proper Binary Tree）

所有节点的度都要么为0，要么为2。

下图的树不是真二叉树，因为3号节点的度为1.

满二叉树（Full Binary Tree）

所有节点的度要么为0，要么为2，且所有的叶子节点都在最后一层。

• 假设满二叉树的高度为（），那么

1. 第层的节点数量为：
2. 叶子节点数量为：
3. 总节点数量，，，的底为2.

• 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多，总节点数量最多
• 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树

完全二叉树（Complete Binary Tree）

叶子节点只会出现在最后2层，且最后一层的叶子节点都靠左对齐。

简单来说，就是所有节点从上往下，从左往右依次排列。

• 完全二叉树从根节点到倒数第2层是一棵满二叉树
• 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树
• 度为1的节点只有左子树
• 度为1的节点要么是1个，要么是0个
• 同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小
• 假设完全二叉树的高度为（），那么

1. 至少有个节点（）
2. 至多有个节点（，满二叉树）
3. 总结点数量为 n，，因此，推出，floor为向下取整，另外ceiling是向上取整。

• 一棵有n个节点的完全二叉树（n>0），从上到下，从左到右对节点从1开始编号，对任意第个节点

1. 如果 = 1，它是根节点
2. 如果 > 1，它的父节点编号为
3. 如果，它的左子节点编号为
4. 如果，它无左子节点
5. 如果，它的右子节点的编号为
6. 如果，它无右子节点

一道面试题

如果一棵完全二叉树有768个节点，求叶子节点的个数。（用前面的公式）

全文完