最大子序列和及其算法复杂度分析

问题描述

给定k个整数的序列{N1,N2,…,Nk }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, …, Nj }，其中 1 <= i <= j <= k。最大连续子序列是所有连续子序中元素和最大的一个，例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{11,-4,13}，最大连续子序列和即为20。

注：为方便起见，如果所有整数均为负数，则最大子序列和为0。

算法讲解

算法1及其复杂度

接下来我们使用最普通的算法以及改进的算法分析算法使用的时间以及复杂度。

public static int maxSum1(int[] a){
    int maxSum;
    for(int i=0;ifor(int j=i;jint thisSum;
            for(int k=i;kif(thisSum>maxSum){
                maxSum=thisSum;
            }
        }
    }
}

接下来我们分析这一段代码，第一个for循环是从从序列的第一项开始，第二个计算序列终止的位数，第三个for循环是计算i与j之间的序列和。例如当i=2,j=5时，第三个for循环就是计算a[2]-a[5]之间的序列和。
接下来分析他们的复杂度。
三个for循环复杂度为O（n^3）,第一个for循环大小为N，第二个for循环大小为N-i；第三个for循环为j-i+1;因此总数为。
接下来我们进行分步求解

接着得到

为了完全计算其复杂度

以上就是精确的复杂度计算过程。

算法2

public static int maxSum2(int[] a){
    int maxSum;
    for(int i=0;iint thisSum;
        for(int j=i;jif(thisSum>maxSum){
                maxSum=thisSum;
                }
        }
    }
}

算法2的复杂度为O(N^2)。