判断图中是否有环的两种方法

0 什么是环？

在图论中，环（英语：cycle）是一条只有第一个和最后一个顶点重复的非空路径。

在有向图中，一个结点经过两种路线到达另一个结点，未必形成环。

1 拓扑排序

1.1 无向图

使用拓扑排序可以判断一个无向图中是否存在环，具体步骤如下：

1. 求出图中所有结点的度。
2. 将所有度 <= 1 的结点入队。（独立结点的度为 0）
3. 当队列不空时，弹出队首元素，把与队首元素相邻节点的度减一。如果相邻节点的度变为一，则将相邻结点入队。
4. 循环结束时判断已经访问的结点数是否等于 n。等于 n 说明全部结点都被访问过，无环；反之，则有环。

1.2 有向图

使用拓扑排序判断无向图和有向图中是否存在环的区别在于：

• 在判断无向图中是否存在环时，求的是结点的度；
• 在判断有向图中是否存在环时，求的是结点的入度。

2 DFS

使用 DFS 可以判断一个无向图和有向中是否存在环。深度优先遍历图，如果在遍历的过程中，发现某个结点有一条边指向已访问过的结点，并且这个已访问过的结点不是上一步访问的结点，则表示存在环。

我们不能仅仅使用一个 bool 数组来表示结点是否访问过。规定每个结点都拥有三种状态，白、灰、黑。开始时所有结点都是白色，当访问过某个结点后，该结点变为灰色，当该结点的所有邻接点都访问完，该节点变为黑色。

那么我们的算法可以表示为：如果在遍历的过程中，发现某个结点有一条边指向灰色节点，并且这个灰色结点不是上一步访问的结点，那么存在环。

3 Code

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

vector<vector<int>> g;
vector<int> color;
int last;
bool hasCycle;

bool topo_sort() {
     
	int n = g.size();
	vector<int> degree(n, 0);
	queue<int> q;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
     
		degree[i] = g[i].size();
		if (degree[i] <= 1) {
     
			q.push(i);
		}
	}
	int cnt = 0;
	while (!q.empty()) {
     
		cnt++;
		int root = q.front();
		q.pop();
		for (auto child : g[root]) {
     
			degree[child]--;
			if (degree[child] == 1) {
     
				q.push(child);
			}
		}
	}
	return (cnt != n);
}

void dfs(int root) {
     
	color[root] = 1;
	for (auto child : g[root]) {
     
		if (color[child] == 1 && child != last) {
     
			hasCycle = true;
			break;
		}
		else if (color[child] == 0) {
     
			last = root;
			dfs(child);
		}
	}
	color[root] = 2;
}

int main() {
     
	int n = 4;
	g = vector<vector<int>>(n, vector<int>());

	g[0].push_back(1);
	g[1].push_back(0);
	g[1].push_back(2);
	g[2].push_back(1);
	g[2].push_back(3);
	g[3].push_back(2);
	cout << topo_sort() << endl;	//0，无环
	color = vector<int>(n, 0);
	last = -1;
	hasCycle = false;
	dfs(0);
	cout << hasCycle << endl;		//0，无环

	g[0].push_back(3);
	g[3].push_back(0);
	cout << topo_sort() << endl;	//1，有环
	color = vector<int>(n, 0);
	last = -1;
	hasCycle = false;
	dfs(0);
	cout << hasCycle << endl;		//1，有环
	return 0;
}

References

1. 环 (图论)
2. 有向无环图
3. 判断一个图是否有环及相关 LeetCode 题目
4. 判断有向图是否存在环的 2 种方法（深度遍历，拓扑排序）