信用评分的简单小结（ROC，IV，WOE）

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由于专业的关系，我学习信用评分的时候往往最关注模型那一块，前段时间一直有很多困惑，这周认真地看了一篇文章，终于有一点点明白了，所以来简单地小结一下（这事儿不能说得太细），小结完了我得学习cURL去了。

最常见的用于信用评分的模型就是logistic回归，这是一种处理二分类因变量的广义线性模型。这种模型的理论基础比较扎实，但是对于不同的问题当然也存在一些特殊的处理方式，我最大的困惑就在于建模时对分类自变量的处理方法。

由于制作评分卡的某些需要，通常会在建立评分模型时将自变量做离散化处理（等宽切割，等高切割，或者利用决策树来切割），但是模型本身没办法很好地直接接受分类自变量的输入，因此需要对自变量进行再次的处理。比较常规的做法有两种：做dummy变量，做基于目标的变量编码。

dummy变量是比较顺其自然的操作，例如某个自变量m有3种取值分别为m1,m2,m3，那么可以构造两个dummy变量M1,M2：当m取m1时，M1取1而M2取0；当m取m2时，M1取0而M2取1；当m取m3时，M1取0且M2取0。这样，M1和M2的取值就确定了m的取值。之所以不构造M3变量，是基于信息冗余和多重共线性之类的考虑。但是，构造dummy变量也存在一些缺点，例如无法对自变量的每一个取值计算其信用得分，并且回归模型筛选变量时可能出现某个自变量被部分地舍弃的情况。

另一种处理分类变量的方法是基于目标对其进行编码，在信用评分中比较常见的就是用WOE编码。WOE叫做证据权重(Weight of Evidence)，表示的其实是自变量取某个值的时候对违约比例的一种影响。

解释起来还蛮拗口的，先画个表。

在这个表格中，ID就是我们考虑的某个自变量，他有三种取值。1和0分别代表了违约样本与正常样本的数量，最后一列就是相应的WOE。用比较复杂的中文来解释：ID取值为A1时，计算此时违约样本占总体违约样本的比例pp1，再计算此时正常样本占总体正常样本的比例pp0，然后求这两个比例的比值的自然对数ln(pp1/pp0)，所得即为与A1相对应的WOE。事实上经过简单变化，可以认为WOE衡量了自变量取Ai时的违约险算比(odds ratio)与总体违约险算比之间的某种差异。正因为如此，直观地可以认为WOE蕴含了自变量取值对目标变量(违约概率)的某种影响，因此可以自然地将自变量重新编码：当自变量取值Ai时，编码为相应的WOEi。

WOE的这种做法同样非常直观，而且他的计算形式跟logit回归中的目标变量如此相似，所以连我都认为能够毫无顾虑地采用这种方法。但我总还是困惑：这种做法是不是还有其他含义，它与dummy变量方法有没有什么本质上的关系？

于是我就找了一些教材来读，终于有了一些新的理解。

事实上，为了理解WOE的意义，需要考虑对评分模型效果的评价。因为我们在建模时对模型自变量的所有处理工作，本质上都是为了提升模型的效果。在之前的一些学习中，我也总结了这种二分类模型效果的评价方法，尤其是其中的ROC曲线。为了描述WOE的意义，还真的需要从ROC说起。仍旧是先画个表格。

数据来自于著名的 German credit dataset，取了其中一个自变量来说明问题。第一列是自变量的取值，N表示对应每个取值的样本数，n1和n0分别表示了违约样本数与正常样本数，p1和p0分别表示了违约样本与正常样本占各自总体的比例，cump1和cump0分别表示了p1和p0的累计和，woe是对应自变量每个取值的WOE（ln(p1/p0)），iv是woe*(p1-p0)。对iv求和( 可以看成是对WOE的加权求和)， 就得到IV(information value信息值)，是衡量自变量对目标变量影响的指标之一(类似于gini,entropy那些)，此处是0.666，貌似有点太大了，囧。

IV可以稍后再讲，首先需要有一个认识：上述过程研究了一个自变量对目标变量的影响，事实上也可以看成是单个自变量的评分模型，更进一步地，可以直接将自变量的取值当做是某种信用评分的得分，此时需要假设自变量是某种有序变量，也就是仅仅根据这个有序的自变量直接对目标变量进行预测。

正是基于这种视角，我们可以将“模型效果的评价”与“自变量筛选及编码”这两个过程统一起来。筛选合适的自变量，并进行适当的编码，事实上就是挑选并构造出对目标变量有较高预测力(predictive power)的自变量，同时也可以认为，由这些自变量分别建立的单变量评分模型，其模型效果也是比较好的。

就以上面这个表格为例，其中的cump1和cump0，从某种角度看就是我们做ROC曲线时候的TPR与FPR。例如，此时的评分排序为A12,A11,A14,A13，若以A14为cutoff，则此时的TPR=cumsum(p1)[3]/(sum(p1))，FPR= cumsum(p0)[3]/(sum(p0))，就是cump1[3]和cump0[3]。于是我们可以画出相应的ROC曲线。

可以看得出来这个ROC不怎么好看。之前也学习过了，ROC曲线有可以量化的指标AUC，指的就是曲线下方的面积。这种面积其实衡量了TPR与FPR之间的距离。根据上面的描述，从另一个角度看TPR与FPR，可以理解为这个自变量（也就是某种评分规则的得分）关于0/1目标变量的条件分布，例如TPR，即cump1，也就是当目标变量取1时，自变量（评分得分）的一个累积分布。当这两个条件分布距离较远时，说明这个自变量对目标变量有较好的辨识度。

既然条件分布函数能够描述这种辨识能力，那么条件密度函数行不行呢？这就引出了IV和WOE的概念。事实上，我们同样可以衡量两个条件密度函数的距离，这就是IV。这从IV的计算公式里面可以看出来，IV=sum((p1-p0)*log(p1/p0))，其中的p1和p0就是相应的密度值。IV这个定义是从相对熵演化过来的，里面仍然可以看到x*lnx的影子。

至此应该已经可以总结到：评价评分模型的效果可以从“条件分布函数距离”与“条件密度函数距离”这两个角度出发进行考虑，从而分别得到AUC和IV这两个指标。这两个指标当然也可以用来作为筛选自变量的指标，IV似乎更加常用一些。而WOE就是IV的一个主要成分。

那么，到底为什么要用WOE来对自变量做编码呢？主要的两个考虑是：提升模型的预测效果，提高模型的可理解性。

首先，对已经存在的一个评分规则，例如上述的 A12,A11,A14,A13，对其做各种函数变化，可以得到不同的ROC结果。但是，如果这种函数变化是单调的，那么ROC曲线事实上是不发生变化的。因此，想要提高ROC，必须寄希望于对评分规则做非单调的变换。传说中的NP引理证明了，使得ROC达到最优的变换就是计算现有评分的一个WOE，这似乎叫做“条件似然比”变换。

用上述例子，我们根据计算出的WOE值，对评分规则（也就是第一列的value）做排序，得到新的一个评分规则。

此处按照WOE做了逆序排列（因为WOE越大则违约概率越大），照例可以画出ROC线。

可以看出来，经过WOE的变化之后，模型的效果好多了。事实上，WOE也可以用违约概率来代替，两者没有本质的区别。用WOE来对自变量做编码的一大目的就是实现这种“条件似然比”变换，极大化辨识度。

同时，WOE与违约概率具有某种线性关系，从而通过这种WOE编码可以发现自变量与目标变量之间的非线性关系（例如U型或者倒U型关系）。在此基础上，我们可以预料到模型拟合出来的自变量系数应该都是正数，如果结果中出现了负数，应当考虑是否是来自自变量多重共线性的影响。

另外，WOE编码之后，自变量其实具备了某种标准化的性质，也就是说，自变量内部的各个取值之间都可以直接进行比较（WOE之间的比较），而不同自变量之间的各种取值也可以通过WOE进行直接的比较。进一步地，可以研究自变量内部WOE值的变异（波动）情况，结合模型拟合出的系数，构造出各个自变量的贡献率及相对重要性。一般地，系数越大，woe的方差越大，则自变量的贡献率越大（类似于某种方差贡献率），这也能够很直观地理解。

好像似乎还没讲完，但是基本也就这些了。总结起来就是，做信用评分模型时，自变量的处理过程（包括编码与筛选）很大程度上是基于对单变量模型效果的评价。而在这个评价过程中，ROC与IV是从不同角度考察自变量对目标变量的影响力，基于这种考察，我们用WOE值对分类自变量进行编码，从而能够更直观地理解自变量对目标变量的作用效果及方向，同时提升预测效果。

这么一总结，似乎信用评分的建模过程更多地是分析的过程（而不是模型拟合的过程），也正因此，我们对模型参数的估计等等内容似乎并不做太多的学习，而把主要的精力集中于研究各个自变量与目标变量的关系，在此基础上对自变量做筛选和编码，最终再次评估模型的预测效果，并且对模型的各个自变量的效用作出相应的评价。