ABAQUS中的应力应变描述

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应力应变描述

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应力描述

在ABAQUS中采用Cauchy应力作为应力描述方式，Cauchy应力也被称为真实应力，其表示当前构型中单位面积上的力。

应变描述

对于几何非线性（有限变形）分析，存在多种的应变描述方式。不同于真实应力，并没有哪种应变描述可以被明确地称为真实应变。

对于小变形，只有一种应变描述方式

在大应变分析中，对于相同的物理变形过程，选择不同的应变描述方式会得到不同的应变数值。实际上，应变描述方式的选择取决于分析类型、材料行为以及（某种程度上的）用户偏好。

Abaqus/Standard和Abaqus/Explicit的应变描述存在差异：

• Abaqus/Standard：默认情况（小变形）下，应变输出是总应变（变量符号E）；对于大应变（有限变形）下的壳单元、薄膜单元以及实体单元，可以选择两种应变描述方式：对数应变（变量符号LE）、名义应变（变量符号NE）。
• Abaqus/Explicit：对数应变（变量符号LE）是默认应变输出量，也可以选择输出名义应变（变量符号NE），总应变（变量符号E）是不可用的。

总应变

总应变，即Total strain，变量符号E

在参考构型中，对应变率进行数值积分得到的总应变
$${\mathbf{\epsilon }}^{n+1}=\Delta \mathbf{R}\cdot {\mathbf{\epsilon }}^n\cdot \Delta {\mathbf{R}}^{\mathrm{T}}+\Delta \mathbf{\epsilon }$$
如果单元采用了共旋坐标系，则上式可简化为
$${\mathbf{\epsilon }}^{n+1}={\mathbf{\epsilon }}^n+\Delta \mathbf{\epsilon }$$
应变增量 $\Delta \mathbf{\epsilon }$ 可通过对变形率 $\mathbf{D}$ 在时间增量 $\Delta t$ 上积分得到
$$\Delta \mathbf{\epsilon }={\int }_{t^n}^{t^{n+1}}\mathbf{D}\mathrm{d}t$$
这种应变测量适用于弹性-(粘)塑性或弹性蠕变材料，因为塑性应变和蠕变应变是通过相同的积分过程获得的。 在这类材料中，弹性应变很小，总应变近似等于塑性应变或蠕变应变。

格林应变

格林应变，即Green’s strain，变量符号E

在Abaqus/Standard中，对于小应变的壳单元和梁单元，默认应变描述是格林应变（变量符号仍为E）
$${\mathbf{\epsilon }}^G=\frac{1}{2}({\mathbf{F}}^{\mathrm{T}}\cdot \mathbf{F}-\mathbf{I})$$
式中，$\mathbf{F}$ 为变形梯度，$\mathbf{I}$ 为单位张量。格林应变适用于小应变大旋转的情况。在有限变形分析中，小应变壳和梁不应使用弹塑性或超弹性本构关系，因为可能会得到不正确的分析结果或发生程序故障。

名义应变

名义应变，即Nominal strain，变量符号NE

$${\mathbf{\epsilon }}^N=\mathbf{V}-\mathbf{I}=\sum _{i=1}^3({\lambda }_i-1){\mathbf{n}}_i{\mathbf{n}}_i^{\mathrm{T}}$$

式中，$\mathbf{V}=\sqrt{\mathbf{F}\cdot {\mathbf{F}}^{\mathrm{T}}}$ 为左拉伸张量，${\lambda }_i$ 与 ${\mathbf{n}}_i$ 分别为其特征值与特征(列)向量。

对数应变

对数应变，即Logarithmic strain，变量符号LE

$${\mathbf{\epsilon }}^L=\ln \mathbf{V}=\sum _{i=1}^3\ln {\lambda }_i{\mathbf{n}}_i{\mathbf{n}}_i^{\mathrm{T}}$$

超弹性材料的应变输出为对数应变。对于超粘弹性材料，对数弹性应变EE是由当前松弛应力状态计算得到，粘弹性应变CE则等于LE-EE。

UMAT中的输入量

应变量

在有限变形问题中，应变分量在UMAT调用之前被旋转，并且近似于对数应变，即 ${\mathbf{\epsilon }}^L$ 。

变形梯度

传递到UMAT中的并非变形梯度 $\mathbf{F}$ ，而是修正变形梯度 $\overline{\mathbf{F}}$
$$\overline{\mathbf{F}}=\mathbf{F}(\frac{\overline{J}}{J}{)}^{\frac{1}{n}}$$
式中，$J=\det (\mathbf{F})$ 是高斯点上的雅克比行列式，对于三维单元，$n=3$ ；对于二维单元，$n=2$ 。

$\overline{J}$ 则是整个单元上的平均雅克比行列式
$$\overline{J}=\frac{1}{V_{el}}\int J\mathrm{d}{V}_{el}$$

根据单元积分点位置，计算离散加权平均得到 $\overline{J}$

旋转增量矩阵

对于可逆的变形梯度 $\mathbf{F}$ ，由矩阵的极分解定理可得
$$\mathbf{F}=\mathbf{R}\cdot \mathbf{U}=\mathbf{V}\cdot \mathbf{R}$$

式中，$\mathbf{U}=\sqrt{{\mathbf{F}}^{\mathrm{T}}\cdot \mathbf{F}}$ 、$\mathbf{V}=\sqrt{\mathbf{F}\cdot {\mathbf{F}}^{\mathrm{T}}}$ 。于是可得对应的正交旋转矩阵 $\mathbf{R}$
$$\mathbf{R}=\mathbf{F}\cdot (\sqrt{{\mathbf{F}}^{\mathrm{T}}\cdot \mathbf{F}}{)}^{-1}=(\sqrt{\mathbf{F}\cdot {\mathbf{F}}^{\mathrm{T}}}{)}^{-1}\cdot \mathbf{F}$$
UMAT中的输入量中有两个变形梯度，即 ${\mathbf{F}}_0$ 与 ${\mathbf{F}}_1$ ，分别对应该增量步变形前后的变形梯度。于是可得两个旋转矩阵，即 ${\mathbf{R}}_0$ 与 ${\mathbf{R}}_1$ ，进一步可定义旋转增量矩阵 $\Delta \mathbf{R}$
$${\mathbf{R}}_0\cdot \Delta \mathbf{R}={\mathbf{R}}_1⟹\Delta \mathbf{R}={\mathbf{R}}_0^{-1}\cdot {\mathbf{R}}_1$$

旋转增量矩阵 $\Delta \mathbf{R}$ 作为UMAT输入量，是直接给出的

验证

在Abaqus/Standard中，采用几何非线性（有限变形）分析，选择输出对数应变。

在UMAT中输出：旋转增量矩阵DROT、变形梯度DFGRD0和DFGRD1、应变STRAN、应变增量DSTRAN、时间增量DTIME。Fortran程序：

在ABAQUS中，应变及应变增量为工程应变

      PRINT*,'DROT=...'
      WRITE(*,12),DROT(1,:)
      WRITE(*,12),DROT(2,:)
      WRITE(*,12),DROT(3,:)
      WRITE(*,*)

      PRINT*,'F0=...'
      WRITE(*,12),DFGRD0(1,:)
      WRITE(*,12),DFGRD0(2,:)
      WRITE(*,12),DFGRD0(3,:)
      WRITE(*,*)

      PRINT*,'F1=...'
      WRITE(*,12),DFGRD1(1,:)
      WRITE(*,12),DFGRD1(2,:)
      WRITE(*,12),DFGRD1(3,:)
      WRITE(*,*)

      PRINT*,'STRAIN=...'
      WRITE(*,12),(/STRAN(1),STRAN(4)/2.0D0,STRAN(5)/2.0D0/)
      WRITE(*,12),(/STRAN(4)/2.0D0,STRAN(2),STRAN(6)/2.0D0/)
      WRITE(*,12),(/STRAN(5)/2.0D0,STRAN(6)/2.0D0,STRAN(3)/)
      WRITE(*,*)

      PRINT*,'DSTRAIN=...'
      WRITE(*,12),(/DSTRAN(1),DSTRAN(4)/2.0D0,DSTRAN(5)/2.0D0/)
      WRITE(*,12),(/DSTRAN(4)/2.0D0,DSTRAN(2),DSTRAN(6)/2.0D0/)
      WRITE(*,12),(/DSTRAN(5)/2.0D0,DSTRAN(6)/2.0D0,DSTRAN(3)/)
      WRITE(*,*)

      PRINT*,'DTIME=',DTIME
      WRITE(*,*)
      PRINT*,'######################################'
      WRITE(*,*)

输出数据保存在.log文件中，并从中提出一组数据进行验证。MATLAB程序：

% 从'.log'文件中提取数据
clc;clear;
format long;

J_average=1;% 假设整个单元上的平均雅克比行列式为1
n=3;% 三维单元

funEG=@(F) (F'*F-eye(3))/2;% 格林应变
funF=@(F) (J_average/det(F))^(-1/n)*F;% 由修正变形梯度得到变形梯度
funEL=@(F) funm(sqrtm(F*F'), @log);% 对数应变
funR=@(F) F/sqrtm(F'*F);% 旋转张量

DROT=...
     [0.9999883445678  -0.0045470816350   0.0016231996459
      0.0045463626195   0.9999895656127   0.0004463772085
     -0.0016252124224  -0.0004389923516   0.9999985829841];

F0=...
     [0.9162657696006  -0.5340116556566   0.0192969509857
      0.0000000000000   1.8334564757673   0.0000000000000
     -0.2250158864930  -0.1009421521995   0.5917174211528];

F1=...
     [0.9128914668255  -0.5485035655311   0.0184187633429
      0.0000000000000   1.8631389668749   0.0000000000000
     -0.2265230025927  -0.0988821595961   0.5845670848930];

STRAIN0=...
    [-0.0579149200638  -0.2779025519040  -0.1523878429897
     -0.2779025519040   0.5481697880120  -0.1121959991532
     -0.1523878429897  -0.1121959991532  -0.4882665215795];

DSTRAIN=...
    [-0.0040262445184  -0.0045467488471  -0.0029882636856
     -0.0045467488471   0.0160594161089  -0.0004426873816
     -0.0029882636856  -0.0004426873816  -0.0120095770493];

STRAIN1=STRAIN0+DSTRAIN;

DTIME=3.098242187499978E-002;

应变

由 ${\mathbf{F}}_0$ 计算得到 ${\mathbf{\epsilon }}_0^L$，并与STRAIN0对比

funEL(F0)=
  -0.060803391544017  -0.274684825559404  -0.155797481282906
  -0.274684825559404   0.552143951989882  -0.103910410215967
  -0.155797481282906  -0.103910410215967  -0.489335618314627
  
STRAIN0=
  -0.057914920063800  -0.277902551904000  -0.152387842989700
  -0.277902551904000   0.548169788012000  -0.112195999153200
  -0.152387842989700  -0.112195999153200  -0.488266521579500

也可以考虑变形梯度的修正关系

funEL(funF(F0))=
  -0.060135077500271  -0.274684825559404  -0.155797481282906
  -0.274684825559404   0.552812266033628  -0.103910410215966
  -0.155797481282906  -0.103910410215966  -0.488667304270882

同样地，可以对比${\mathbf{\epsilon }}_1^L$ 与STRAIN1。

旋转增量矩阵

由 ${\mathbf{F}}_0$ 、${\mathbf{F}}_1$ 分别得到 ${\mathbf{R}}_0$ 、${\mathbf{R}}_1$ ，进一步计算出 $\Delta \mathbf{R}$ ，并与DROT对比

funR(F0)\funR(F1)=
   0.999993311642542  -0.003361293648173   0.001441657099398
   0.003361951026421   0.999994245655608  -0.000453807191346
  -0.001440123424377   0.000458650936687   0.999998857841268

DROT=
   0.999988344567800  -0.004547081635000   0.001623199645900
   0.004546362619500   0.999989565612700   0.000446377208500
  -0.001625212422400  -0.000438992351600   0.999998582984100

速度梯度

变形率 $\mathbf{D}$
$$\mathbf{D}:=\frac{\Delta \mathbf{\epsilon }}{\Delta t}$$
自旋率张量 $\mathbf{W}$
$$\mathbf{W}:=\frac{2}{\Delta t}(\Delta \mathbf{R}-\mathbf{I})\cdot (\Delta \mathbf{R}+\mathbf{I}{)}^{-1}$$
速度梯度 $\mathbf{L}$
$$\mathbf{L}:=\frac{2}{\Delta t}({\mathbf{F}}_1-{\mathbf{F}}_0)\cdot ({\mathbf{F}}_1+{\mathbf{F}}_0{)}^{-1}$$
应有 $\mathbf{D}+\mathbf{W}=\mathbf{L}$

D=DSTRAIN/DTIME;
W=2/DTIME*(DROT-eye(3))/(DROT+eye(3));
L=2/DTIME*(F1-F0)/(F1+F0);

D+W=
  -0.129952543241347  -0.293505063321040  -0.044026516451960
   0.000000000002498   0.518339598294507  -0.000000000000382
  -0.148874070703533  -0.028576680247064  -0.387625508999842

L=
  -0.129950746561754  -0.293503500675591  -0.044026956685345
                   0   0.518338007574153                   0
  -0.148875559349057  -0.028577393730105  -0.387626288891340

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