稀疏线阵综合-数学模型

考虑一个任意三维布局的阵列天线

假设阵列包含$P$个天线单元，则其阵列方向图表示为
$$f(\theta ,\phi )=\sum _{p=1}^P{T}_p(\theta ,\phi ){\omega }_p\exp [i\beta (x_p\sin \theta \cos \phi +y_p\sin \theta \sin \phi +z_p\cos \theta )]$$

$T_p(\theta ,\phi )$：第$p$个阵元的单元方向图
${\omega }_p$：第$p$个阵元的复激励（幅度和相位）
$\beta =2\pi /\lambda$：波数
稀疏阵列综合问题：给定期望的$f_{REF}(\theta )$，求解的最小阵元个数$P$，以及相应的阵元位置$d_p$和激励${\omega }_p$。
$$\begin{gathered} \underset{\{x_p,y_p,z_p,{\omega }_p{\}}_{p=1,\cdots ,P}}{\min }(P) \\ s.t.{\int }_{{\phi }_L}^{{\phi }_R}{\int }_{{\theta }_L}^{{\theta }_R}{\left|f_{REF}(\theta ,\phi )-f(\theta ,\phi )\right|}^{2}d\theta d\phi \le ϵ \end{gathered}$$

$f(\theta ,\phi )$实际上是一组以阵元激励${\omega }_p$为权值系数的指数函数的线性组合。
以线性阵列为例，假设实现期望方向图所需的稀疏阵列含$P$个阵元，并分布在跨度为$D$的口径内。
首先将口径划分为$N$个间距为$\Delta d$的均匀网格

候选阵列的方向图可以表示为
$$f(\theta )=\sum _{n=1}^N{T}_n(\theta ){\omega }_n\exp (i\beta d_n\sin \theta )$$

$d_n=(n-1)\Delta d,n=1,\cdots ,N$：第$n$个候选阵元的位置
矩阵形式
$$\mathrm{f}\text{f}\mathrm{f}=\mathrm{A}\text{A}\mathrm{A}\mathrm{w}\text{w}\mathrm{w}$$

$\mathrm{f}\text{f}\mathrm{f}=[f({\theta }_1),f({\theta }_2),\cdots ,f({\theta }_J){]}^T$：方向图的采样向量
$\mathrm{A}\text{A}\mathrm{A}$：$J\times N$维复矩阵，$[\mathrm{A}\text{A}\mathrm{A}{]}_{jn}=T_n({\theta }_j)\exp (i\beta d_n\sin {\theta }_j)$
$\mathrm{w}\text{w}\mathrm{w}=[{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_N{]}^T$：激励向量
当$N$很大时，并非所有的阵元都需要被激励，如果${\omega }_n=0$就代表此处没有阵元。
基于压缩感知理论的稀疏阵列综合问题的数学模型：
$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{w}}{\min }\Vert \mathrm{w}\text{w}\mathrm{w}{\Vert }_0 \\ s.t.\Vert \mathrm{f}\text{f}\mathrm{f}-{\mathrm{f}\text{f}\mathrm{f}}_{REF}{\Vert }_2=\Vert \mathrm{A}\text{A}\mathrm{A}\mathrm{w}\text{w}\mathrm{w}-{\mathrm{f}\text{f}\mathrm{f}}_{REF}{\Vert }_2\le ϵ \end{gathered}$$