什么是双线性映射（Bilinear Mapping ）?

在数论中，一个双线性映射是由两个向量空间上的元素，生成第三个向量空间上一个元素之函数，并且该函数对每个参数都是线性的。最简单的例子：
$$xy\to z,x,y\in R$$

1. 双线性映射

设 $V,W$ 和 $X$ 是在同一个基础域F上的三个向量空间。双线性映射是函数：
$$B:V\times W\to X$$

使得对于任何 $W$ 中 $w$，映射
$$v\mapsto B(v,w)$$

是从 $V$ 到 $X$ 的线性映射，并且对于任何 $V$ 中的 $v$，映射
$$w\mapsto B(v,w)$$

是从 $W$ 到 $X$ 的线性映射。

换句话说，如果保持双线性映射的第一个参数固定，并留下第二个参数可变，结果的是线性算子，如果保持第二个参数固定也是类似的。

2. 对称双线性映射

如果 $V=W$ 并且有 $B(v,w)=B(w,v)$ 对于所有 $V$ 中的 $v,w$，则我们称 $B$ 是对称的。

3. 双线性形式

当这里的 $X$ 是 $F$ 的时候，我们称之为双线性形式，它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。

4. 多线性

如果使用在交换环R上的模替代向量空间，定义不需要任何改变。还可容易的推广到 $n$ 元函数，这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环 $R$ 和右模 $M_R$与左模${}_{R}N$的情况，我们可以定义双线性映射 $B:M\times N\to T$，这里的 $T$ 是阿贝尔环，使得对于任何 $N$ 中的 $n$，$m\mapsto B(m,n)$ 是群同态，而对于任何 $M$ 中的 $m$, $n\mapsto B(m,n)$ 是群同态，并还满足
$$B(mt,n)=B(m,tn)$$

对于所有的 $M$ 中的 $m$，$N$中 $n$ 和 $R$ 中的 $t$。