什么是双线性映射(Bilinear Mapping )?

在数论中,一个双线性映射是由两个向量空间上的元素,生成第三个向量空间上一个元素之函数,并且该函数对每个参数都是线性的。最简单的例子:
x y → z , x , y ∈ R xy \to z, x,y \in R xyz,x,yR

1. 双线性映射

V , W V,W V,W X X X 是在同一个基础域F上的三个向量空间。双线性映射是函数:
B : V × W → X B:V \times W\to X B:V×WX

使得对于任何 W W W w w w,映射
v ↦ B ( v , w   ) v\mapsto B(v,w ) vB(v,w)

是从 V V V X X X 的线性映射,并且对于任何 V V V 中的 v v v,映射
w ↦ B ( v , w   ) w\mapsto B(v,w ) wB(v,w)

是从 W W W X X X 的线性映射。

换句话说,如果保持双线性映射的第一个参数固定,并留下第二个参数可变,结果的是线性算子,如果保持第二个参数固定也是类似的。

2. 对称双线性映射

如果 V = W V=W V=W 并且有 B ( v , w   ) = B ( w , v   ) B(v,w )=B(w,v ) B(v,w)=B(w,v) 对于所有 V V V 中的 v , w v,w v,w,则我们称 B B B 是对称的。

3. 双线性形式

当这里的 X X X F F F 的时候,我们称之为双线性形式,它特别有用(参见例子标量积、内积和二次形式)。

4. 多线性

如果使用在交换环R上的模替代向量空间,定义不需要任何改变。还可容易的推广到 n n n 元函数,这里正确的术语是“多线性”。

对非交换基础环 R R R 和右模 M R M_R MR与左模 R N _RN RN的情况,我们可以定义双线性映射 B : M × N → T B:M\times N\to T B:M×NT,这里的 T T T 是阿贝尔环,使得对于任何 N N N 中的 n n n m ↦ B ( m , n ) m \mapsto B(m,n) mB(m,n) 是群同态,而对于任何 M M M 中的 m m m, n ↦ B ( m , n ) n \mapsto B(m,n) nB(m,n) 是群同态,并还满足
B ( m t , n   ) = B ( m , t n   ) B(mt,n ) =B(m,tn ) B(mt,n)=B(m,tn)

对于所有的 M M M 中的 m m m N N N n n n R R R 中的 t t t

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