数据结构与算法之美 | 学习笔记07 ——递归

一、递归

1.实现递归

去的过程为递，回的过程为归。递归要满足的三个条件：

1. 一个问题可以分解为几个子问题的解；
2. 问题与子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
3. 存在递归终止条件

关键：写出递推公式，找到终止条件。
示例：n个台阶，每次可以跨1或2个台阶，请问走这n个台阶有多少种走法？

求解：
递推公式：根据第一步的走法把所有走法分两类：第一类是第一步走了1个台阶，之后的走法就是n-1个台阶的走法；第二类是第一步走了2个台阶，之后的走法就是n-2个台阶的走法，因此递归公式为：

f(n) = f(n-1)+f(n-2)

终止条件：先设置终止条件为f(1) = 1，用比较小的数试验一下：n = 2时，f(2) = f(1) + f(0)，不符合逻辑，所以加上f(2) = 2。再拿n = 3，n = 4验证一下是否正确。

因此最后递归代码为（有重复计算的问题）：

int f(int n) {
     
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

空间复杂度为$O(n)$。
对于较复杂的递归问题，例如A分为B, C, D，考虑问题时可以假设子问题已经解决，隐藏掉细节。

2. 警惕堆栈溢出

函数调用会使用栈来保存实时变量，而系统栈或虚拟机栈空间一般不大，当递归数据规模大、调用层次深时，可能有堆栈溢出的风险。如果最大深度较小，例如10、50，可以在递归函数中可以增加判断报错的代码。

3. 警惕重复计算

上面的台阶代码有重复计算的问题，可以通过一个数据结构（例如散列表）来保存已经求解过的f(k)：

public int f(int n) {
     
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  // hasSolvedList可以理解成一个Map，key是n，value是f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
     
    return hasSolvedList.get(n);
  }
  
  int ret = f(n-1) + f(n-2);
  hasSolvedList.put(n, ret);
  return ret;
}

二、将递归代码改为非递归代码

递归的空间复杂度高，有堆栈溢出风险，可能存在重复计算，过多的函数调用耗时过多，所以依据实际情况决定将递归代码改为非递归代码。
对于台阶问题，修改后为：

int f(int n) {
     
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  int ret = 0;
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
     
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}

递归的应用

DFS深度优先搜索，前中后序二叉树遍历等。

递归的调试

1. 打印日志发现，递归值。
2. 结合条件断点进行调试。