【Kickstart】2018 Round C - Kickstart Alarm

解法

就是数学优化+快速幂+除法取模结合在一起
首先，数学优化比较容易，最后肯定是要变成每遍历一个数就加一次。对于$a_m$，它可以是子数组里的第1,2,…,m个，而它是第i个的子数组一共有$(N+1-m)$个，当计算${POWER}_j$时，它的系数就是$1^j$，$2^j$，$3^j$,…,$m^j$，所以最后$a_m$的系数为：
$$\begin{gathered} \sum _{j=1}^k\sum _{i=1}^m(N+1-m)i^j \\ =(N+1-m)\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^k{i}^j \\ =(N+1-m)\sum _{i=1}^m\frac{i(i^k-1)}{i-1} \end{gathered}$$

然后，显然对于$i^k$那部分我们需要用快速幂来求

最后，对于$\frac{i(i^k-1)}{i-1}(modp)$，它不能通过分子和分母都分别取余来求。
这里要用到费马小定理：

如果$a$和$p$互质，那么$a^{p-1}(modp)=1$

令$p=10^9+7$，它是个质数，那么有$(i-1{)}^{p-1}(modp)=1$
所以$$i(i^k-1)(i-1{)}^{p-2}(modp)=\frac{i(i^k-1)}{i-1}(modp)$$
这样就可以分别算出每个因子mod p的值再相乘了

最后，${\sum }_{i=1}^m$算是一个前缀和，所以可以不用每次都循环

#include 
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#include 
#include 

#define MASK 0x10000
#define MAXN 16

using namespace std;

typedef long long lld;

const lld MOD = pow(10,9)+7;

lld FAST_POW(int i, int k) {
    lld base = i, res = 1;
    int e = k;
    while (e>0) {
        if(e&1) res = res*base%MOD;
        base = base*base%MOD;
        e = e>>1;
    }
    return res;
}

lld POW(int i,int k) {
    if (i==1) return k;
    else {
        lld A = (i*(FAST_POW(i,k)-1))%MOD, B =  FAST_POW(i-1,MOD-2);
        return A*B%MOD;
    }
}

int main() {
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for(auto round=1;round<=t;++round) {
        lld n,k,x,y,c,d,e1,e2,f;
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&k,&x,&y,&c,&d,&e1,&e2,&f);
        lld a = (x+y)%f;
        lld ans = n*k*a%MOD;
        lld cumprod = POW(1,k);
        for(int i=1;i<n;++i) {
            lld tmp = x;
            x = (c*x+d*y+e1)%f;
            y = (d*tmp+c*y+e2)%f;
            a = (x+y)%f;
            cumprod = (cumprod+POW(i+1,k))%MOD;
            ans = (ans + cumprod*a% MOD*(n-i)% MOD)% MOD;
        }
        printf("Case #%d: %lld\n",round,ans%MOD);
    }
}