【水动力学】02 一维河道建模
文章目录
- 建模背景
-
- 记录原因
- 模拟工况
- 边界条件
- 所需资料
- 模型结构
-
- 圣维南方程组
- Preissmann隐式差分格式
- 离散形式
- 方程组离散
- 边界条件离散
- 模型求解
- Matlab程序
建模背景
记录原因
本文是前文矩形河道水动力学建模的后续，介绍了一般河道如何建立一维水动力学数值模拟模型。
模拟工况
单一河道，江阴以下长江干流，断面为不规则形状，糙率都取n=0.025，初始水深为-10m，初始流量为0，时间步长300s，模拟总时间24h，重力加速度g取9.81m/s2。资料见附件。
边界条件
上边界条件：水位恒定为-5m；
下边界条件：水位恒定为-15m。
无旁侧如流。
所需资料
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重要的事情说三遍！
模型结构
圣维南方程组
连续方程： ∂ A ∂ t + ∂ Q ∂ x = 0 \frac{\partial{A}}{\partial{t}}+\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}=0 ∂t∂A+∂x∂Q=0
动量方程： ∂ Q ∂ t + ∂ Q u ∂ x + g A ∂ Z ∂ x + g A S f = 0 \frac{\partial{Q}}{\partial{t}}+\frac{\partial{Qu}}{\partial{x}}+gA\frac{\partial{Z}}{\partial{x}}+gAS_f=0 ∂t∂Q+∂x∂Qu+gA∂x∂Z+gASf=0
式中： A A A为断面面积； Q Q Q为通过断面的流量； u u u为断面流速； g g g为重力加速度；
Z Z Z为水位； S f S_f Sf为摩阻比降， S f = n 2 Q ∣ Q ∣ A 2 R 4 3 S_f=\frac{n^2Q|Q|}{A^2R^{\frac{4}{3}}} Sf=A2R34n2Q∣Q∣。
一般河道简化为
连续方程： B ∂ Z ∂ t + ∂ Q ∂ x = 0 B\frac{\partial{Z}}{\partial{t}}+\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}=0 B∂t∂Z+∂x∂Q=0
动量方程： ∂ Q ∂ t + u ∂ Q ∂ x + g A ∂ Z ∂ x + g n 2 Q ∣ u ∣ R 4 3 = 0 \frac{\partial{Q}}{\partial{t}}+u\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}+gA\frac{\partial{Z}}{\partial{x}}+g\frac{n^2Q|u|}{R^{\frac{4}{3}}}=0 ∂t∂Q+u∂x∂Q+gA∂x∂Z+gR34n2Q∣u∣=0
式中： Z Z Z为水位； Q Q Q为流量； B B B为过水断面宽度； u u u为过水断面流速； A A A为过水断面面积； n n n为河道糙率； g g g为重力加速度； R R R为水力半径。
Preissmann隐式差分格式
简化四点线性隐格式
f ∣ M = f j + 1 n + f j n 2 f\vert_M=\frac{f^n_{j+1}+f^n_j}{2} f∣M=2fj+1n+fjn
∂ f ∂ x ∣ M = θ ( f j + 1 n + 1 − f j n + 1 Δ x ) + ( 1 − θ ) ( f j + 1 n − f j n Δ x ) \frac{\partial{f}}{\partial{x}}\vert_M=\theta(\frac{f^{n+1}_{j+1}-f^{n+1}_j}{\Delta x}) + (1-\theta)(\frac{f^{n}_{j+1}-f^{n}_j}{\Delta x}) ∂x∂f∣M=θ(Δxfj+1n+1−fjn+1)+(1−θ)(Δxfj+1n−fjn)
∂ f ∂ t ∣ M = f j + 1 n + 1 + f j n + 1 − f j + 1 n − f j n 2 Δ t \frac{\partial{f}}{\partial{t}}\vert_M=\frac{f^{n+1}_{j+1} +f^{n+1}_{j} - f^{n}_{j+1} -f^{n}_j}{2\Delta t} ∂t∂f∣M=2Δtfj+1n+1+fjn+1−fj+1n−fjn
式中： θ \theta θ为加权系数， 0 ≤ θ ≤ 1 0\leq\theta\leq1 0≤θ≤1。 θ = 0 \theta=0 θ=0为显式； 0 < θ < 1 0<\theta<1 0<θ<1为半隐式； θ = 1 \theta=1 θ=1为全隐式。 0.5 ≤ θ ≤ 1 0.5\leq\theta\leq1 0.5≤θ≤1时离散稳定。
离散形式
本文采用全隐式格式，即取 θ = 1 \theta=1 θ=1。
∂ Z ∂ t ≈ Δ Z Δ t = Z i + 1 2 t + 1 − Z i + 1 2 t Δ t = Z i t + 1 + Z i + 1 t + 1 2 − Z i t + Z i + 1 t 2 Δ t \frac{\partial{Z}}{\partial{t}} \approx\frac{\Delta Z}{\Delta t}=\frac{Z_{i+\frac{1}{2}} ^{t+1}-Z_{i+\frac{1}{2}} ^{t}}{\Delta t}=\frac{\frac{Z_i^{t+1}+Z_{i+1}^{t+1}}{2}-\frac{Z_i^{t}+Z_{i+1}^{t}}{2}}{\Delta t} ∂t∂Z≈ΔtΔZ=ΔtZi+21t+1−Zi+21t=Δt2Zit+1+Zi+1t+1−2Zit+Zi+1t
∂ Q ∂ x ≈ Δ Q Δ x = [ θ Q i + 1 t + 1 + ( 1 − θ ) Q i + 1 t ] − [ θ Q i t + 1 + ( 1 − θ ) Q i t ] Δ x = Q i + 1 t + 1 − Q i t + 1 Δ x \frac{\partial{Q}}{\partial{x}} \approx\frac{\Delta Q}{\Delta x}=\frac{\left[\theta Q_{i+1}^{t+1}+\left(1-\theta \right)Q_{i+1}^t\right] - \left[\theta Q_{i}^{t+1}+\left(1-\theta \right)Q_{i}^t\right]}{\Delta x}=\frac{Q_{i+1}^{t+1}-Q_{i}^{t+1}}{\Delta x} ∂x∂Q≈ΔxΔQ=Δx[θQi+1t+1+(1−θ)Qi+1t]−[θQit+1+(1−θ)Qit]=ΔxQi+1t+1−Qit+1
u = u i t + u i + 1 t 2 u=\frac{u_i^t+u_{i+1}^t}{2} u=2uit+ui+1t
Q = Q i t + Q i + 1 t 2 Q=\frac{Q_i^t+Q_{i+1}^t}{2} Q=2Qit+Qi+1t
方程组离散
将离散形式代入简化的圣维南方程组中，可以得到圣维南方程组的Preissmann离散形式
连续方程：
B Z i t + 1 + Z i + 1 t + 1 − Z i t − Z i + 1 t 2 Δ t + Q i + 1 t + 1 − Q i t + 1 Δ x = 0 B\frac{Z_i^{t+1}+Z_{i+1}^{t+1}-Z_i^t-Z_{i+1}^t}{2\Delta t }+\frac{Q_{i+1}^{t+1}-Q_i^{t+1}}{\Delta x}=0 B2ΔtZit+1+Zi+1t+1−Zit−Zi+1t+ΔxQi+1t+1−Qit+1=0
Z i t + 1 − 1 B 2 Δ t Δ x Q i t + 1 + Z i + 1 t + 1 + 1 B 2 Δ t Δ x Q i + 1 t + 1 = Z i t + Z i + 1 t Z_i^{t+1}-\frac{1}{B}\frac{2\Delta t}{\Delta x}Q_i^{t+1}+Z_{i+1}^{t+1}+\frac{1}{B}\frac{2\Delta t}{\Delta x}Q_{i+1}^{t+1}=Z_i^t+Z_{i+1}^t Zit+1−B1Δx2ΔtQit+1+Zi+1t+1+B1Δx2ΔtQi+1t+1=Zit+Zi+1t
动量方程：
Q i t + 1 + Q i + 1 t + 1 − Q i t − Q i + 1 t 2 Δ t + u Q i + 1 t + 1 − Q i t + 1 Δ x + g A Z i + 1 t + 1 − Z i t + 1 Δ x + g n 2 ∣ u ∣ R 4 3 Q i t + 1 + Q i + 1 t + 1 2 = 0 \frac{Q_i^{t+1}+Q_{i+1}^{t+1}-Q_i^t-Q_{i+1}^t}{2\Delta t }+u\frac{Q_{i+1}^{t+1}-Q_i^{t+1}}{\Delta x}+gA\frac{Z_{i+1}^{t+1}-Z_i^{t+1}}{\Delta x}+\frac{gn^2|u|}{R^{\frac{4}{3}}}\frac{Q_i^{t+1}+Q_{i+1}^{t+1}}{2}=0 2ΔtQit+1+Qi+1t+1−Qit−Qi+1t+uΔxQi+1t+1−Qit+1+gAΔxZi+1t+1−Zit+1+R34gn2∣u∣2Qit+1+Qi+1t+1=0
− g A 2 Δ t Δ x Z i t + 1 + ( 1 − u 2 Δ t Δ x + g n 2 ∣ u ∣ Δ t R 4 3 ) Q i t + 1 + g A 2 Δ t Δ x Z i + 1 t + 1 + ( 1 + u 2 Δ t Δ x + g n 2 ∣ u ∣ Δ t R 4 3 ) Q i + 1 t + 1 = Q i t + Q i + 1 t -gA\frac{2 \Delta t}{\Delta x}Z_i^{t+1}+(1-u\frac{2 \Delta t}{\Delta x}+\frac{gn^2|u|\Delta t}{R^{\frac{4}{3}}})Q_i^{t+1}+gA\frac{2\Delta t}{\Delta x}Z_{i+1}^{t+1}+(1+u\frac{2 \Delta t}{\Delta x}+\frac{gn^2|u|\Delta t}{R^{\frac{4}{3}}})Q_{i+1}^{t+1}=Q_i^t+Q_{i+1}^t −gAΔx2ΔtZit+1+(1−uΔx2Δt+R34gn2∣u∣Δt)Qit+1+gAΔx2ΔtZi+1t+1+(1+uΔx2Δt+R34gn2∣u∣Δt)Qi+1t+1=Qit+Qi+1t
设方程组形式如下：
A Z i t + 1 + B Q i t + 1 + C Z i + 1 t + 1 + D Q i + 1 t + 1 = C 1 AZ_i^{t+1}+BQ_i^{t+1}+CZ_{i+1}^{t+1}+DQ_{i+1}^{t+1}=C_1 AZit+1+BQit+1+CZi+1t+1+DQi+1t+1=C1
E Z i t + 1 + F Q i t + 1 + G Z i + 1 t + 1 + H Q i + 1 t + 1 = C 2 EZ_i^{t+1}+FQ_i^{t+1}+GZ_{i+1}^{t+1}+HQ_{i+1}^{t+1}=C_2 EZit+1+FQit+1+GZi+1t+1+HQi+1t+1=C2
λ = 2 Δ t Δ x \lambda=\frac{2\Delta t}{\Delta x} λ=Δx2Δt，则各系数为：
A = 1 , B = − 1 B λ , C = 1 , D = 1 B λ , C 1 = Z i t + Z i + 1 t A=1,B=-\frac{1}{B}\lambda,C=1 ,D=\frac{1}{B}\lambda,C_1=Z_i^t+Z_{i+1}^t A=1,B=−B1λ,C=1,D=B1λ,C1=Zit+Zi+1t
E = − g A λ , F = 1 − u λ + g n 2 ∣ u ∣ Δ t R 4 3 , G = g A λ , H = 1 + u λ + g n 2 ∣ u ∣ Δ t R 4 3 , C 2 = Q i t + Q i + 1 t E=-gA\lambda,F=1-u\lambda+\frac{gn^2|u|\Delta t}{R^{\frac{4}{3}}},G=gA\lambda,H=1+u\lambda+\frac{gn^2|u|\Delta t}{R^{\frac{4}{3}}},C_2=Q_i^t+Q_{i+1}^t E=−gAλ,F=1−uλ+R34gn2∣u∣Δt,G=gAλ,H=1+uλ+R34gn2∣u∣Δt,C2=Qit+Qi+1t
边界条件离散
上下边界可以是水深或单宽流量，在五对角矩阵的第一行和最后一行添加即可。
五对角矩阵 A x = B Ax=B Ax=B形式如下：
( 1 0 0 0 … … … … … … 0 A 1 − 2 B 1 − 2 C 1 − 2 D 1 − 2 E 1 − 2 F 1 − 2 G 1 − 2 H 1 − 2 A 2 − 3 B 2 − 3 C 2 − 3 D 2 − 3 E 2 − 3 F 2 − 3 G 2 − 3 H 2 − 3 A ( n − 1 ) − n B ( n − 1 ) − n C ( n − 1 ) − n D ( n − 1 ) − n E ( n − 1 ) − n F ( n − 1 ) − n G ( n − 1 ) − n H ( n − 1 ) − n 0 … … … … … … 0 0 1 0 ) ⏟ A ( Z 1 Q 1 Z 2 Q 2 Z 3 Q 3 Z n Q n ) ⏟ x = ( Z 1 ( t ) C 1 ( 1 − 2 ) C 2 ( 1 − 2 ) C 1 ( 2 − 3 ) C 2 ( 2 − 3 ) C 1 [ ( n − 1 ) − n ] C 2 [ ( n − 1 ) − n ] Z n ( t ) ) ⏟ B \underbrace{\begin{pmatrix} 1&0&0&0&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&\dots&0\\[4pt] A_{1-2}&B_{1-2}&C_{1-2}&D_{1-2}\\[4pt] E_{1-2} & F_{1-2} & G_{1-2}&H_{1-2} \\[4pt] & & A_{2-3} & B_{2-3} &C_{2-3} &D_{2-3} \\[4pt] & & E_{2-3} & F_{2-3} &G_{2-3} &H_{2-3} \\[4pt] & & &&&&&&\\[4pt] & & &&&&&&\\[4pt] & & &&&&&&\\[4pt] & & &&&&&&\\[4pt] & &&&&&& A_{(n-1)-n} & B_{(n-1)-n} &C_{(n-1)-n} &D_{(n-1)-n} \\[4pt] & & &&&&&E_{(n-1)-n} & F_{(n-1)-n} &G_{(n-1)-n} &H_{(n-1)-n} \\[4pt] 0&\dots &\dots &\dots&\dots&\dots&\dots&0 & 0 &1 &0 \\[4pt] \end{pmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{pmatrix} Z_{1} \\[4pt] Q_{1} \\[4pt] Z_{2} \\[4pt] Q_{2} \\[4pt] Z_{3} \\[4pt] Q_{3} \\[4pt] \\[4pt] \\[4pt] \\[4pt] \\[4pt] Z_{n} \\[4pt] Q_{n} \\[4pt] \end{pmatrix}}_{x}=\underbrace{\begin{pmatrix} Z_{1}(t) \\[4pt] C_{1(1-2)} \\[4pt] C_{2(1-2)} \\[4pt] C_{1(2-3)} \\[4pt] C_{2(2-3)} \\[4pt] \\[4pt] \\[4pt] \\[4pt] \\[4pt] C_{1[(n-1)-n]} \\[4pt] C_{2[(n-1)-n]} \\[4pt] Z_{n}(t) \\[4pt] \end{pmatrix}}_{B} A ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛1A1−2E1−200B1−2F1−2…0C1−2G1−2A2−3E2−3…0D1−2H1−2B2−3F2−3……C2−3G2−3……D2−3H2−3…………A(n−1)−nE(n−1)−n0…B(n−1)−nF(n−1)−n0…C(n−1)−nG(n−1)−n10D(n−1)−nH(n−1)−n0⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞x ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛Z1Q1Z2Q2Z3Q3ZnQn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=B ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛Z1(t)C1(1−2)C2(1−2)C1(2−3)C2(2−3)C1[(n−1)−n]C2[(n−1)−n]Zn(t)⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
模型求解
利用Matlab矩阵求解器可以得到五对角矩阵的解。
Matlab程序
下载附件，运行General_river.m。 版本：MATLAB R2016a
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%2019.11.12最后修改
%模拟工况：一维不规则河道水动力学建模
%边界条件：上游水位为-5m，下游水位为-15m，初始水位-10m，初始流量为0。
%程序思路：先将断面数据处理成数据表，每隔0.5m确定大断面的河宽、过水面积、湿周和水力半径
% 然后对圣维南方程组进行Preissmann离散，最后求解五对角矩阵即得各断面水位和流量。
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%定义变量及初始化
clc,clear;
%导入断面原始测量数据，共115个断面，每个断面给出了若干个起点距和高程对
load('data.mat');
%设置大断面水位间距dh,T为计算时间段(s)，dt为时间步长（s）,a,c:连续方程离散后的系数，
%Zu、Zd分别为上下游水位，q0为河道初始流量，n0为糙率
dh=0.5;T=24*3600;dt=300;a=1;c=1;Zu=-5;Z0=-10;Zd=-15;q0=0;g=9.81;n0=0.025;
%以下为矩阵分配存储空间
%data(1,1)为断面总数，n为河段总数，N为断面数*2即Zi,Qi变量总数，t为时间分段数，x为Zi,Qi解向量
n=data(1,1)-1;N=2*data(1,1);t=ceil(T/dt);x=zeros(1,N);
%B：五对角矩阵方程的常数项，I,J,K,M,O:五对角矩阵A的五列
B=zeros(1,N);I=zeros(1,N);J=zeros(1,N-1);K=zeros(1,N-2);M=zeros(1,N-1);O=zeros(1,N-2);
%Z，Q分别为模拟时段内的水位和流量过程，X：水位、流量组合矩阵
Z=zeros(t+1,n+1);Q=zeros(t+1,n+1);X=zeros(N,t+1);
%x解向量初始化
for i=1:2:N
x(i)=Z0;x(i+1)=q0;
end
%上下边界水位初始化
x(1)=Zu;x(N-1)=Zd;
%将初始时刻的解向量放入组合矩阵中存储
X(:,1)=x';
%初始化B,I,J,M向量
B(1)=Zu;B(N)=Zd;
I(1)=1;I(N)=0;
J(1)=0;M(N-1)=1;
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%处理大断面实测数据data，处理结果为各个断面的二维表，含有每增加0.5m水深，
%对应的水面宽度、水面面积、湿周、水力半径
%先转置原矩阵，再将矩阵各列合并成一个长的列向量
AA=data';BB=AA(:);
%将列向量BB分成两列的矩阵Combinedata
%使若干个起点距和高程对能够对齐
for i=2:2:size(BB)
Combinedata(i/2,1)=BB(i-1,1);
Combinedata(i/2,2)=BB(i,1);
end
%处理断面间距，Combinedata(17,1)数据表示第一个断面距离河道起点的距离，以此类推
%nsection表示断面数量
nsection=Combinedata(1,1);
for i=1:1:nsection
dx(i)=Combinedata(17+230*(i-1),1);
end
%差分求相邻断面间距,存储在dx向量中
dx=diff(dx);
%生成每个断面的数据表
for i=1:1:nsection
%把一个断面的起点距和高程数据赋值给临时矩阵
temp=Combinedata(31+230*(i-1):233+230*(i-1),:);
%第二列的最小值及行号，即为大断面最低点
[min_value,min_row]=min(temp(:,2));
%由于起点处有堤坝，而河道对岸没有堤坝，所以大断面最后一个测量点的高程总是小于第一个
%因此需要找到次最大值，即大断面最后一个测量点的高程，以便确定断面数据表的行数
max_value=max(temp(min_row:end,2));
%nrow表示断面数据表格的行数
%Sct为断面数据总表
%前五列分别为水位、水面宽、过水断面面积、湿周和水力半径，
%往后就是第二个断面的水位、水面宽、过水断面面积、湿周和水力半径，以此类推
nrow=ceil((max_value-min_value)/dh)+1;
Sct(1:nrow,1+5*(i-1):5+5*(i-1))=zeros(nrow,5);
for j=1:1:nrow
%水位
z=min_value+dh*(j-1);
%Plus_minus记录断面各点高程与所给水位的大小关系，用-1和0表示
Plus_minus=diff(temp(:,2)>z);
%记录下由正转负的零点位置
bigtosmall=find(Plus_minus==-1);
%记录下由负转正的零点位置
smalltobig=find(Plus_minus==1);
%判断正零点和负零点的个数是否相同
%是为了防止次最大值并不是对岸最后一点，而是最大值右方某个凸起
%这是应该在最右岸添加一个提防
if numel(bigtosmall)>numel(smalltobig)
smalltobig(numel(bigtosmall),1)=size(temp,1);
temp(size(temp,1)+1,1)=temp(end,1);temp(end,2)=z;
end
%生成断面数据表
for k=1:1:size(bigtosmall)
%求左边交点起点距
dl=temp(bigtosmall(k)+1,1)-(z-temp(bigtosmall(k)+1,2))*(temp(bigtosmall(k)+1,1) ...
-temp(bigtosmall(k),1))/(temp(bigtosmall(k),2)-temp(bigtosmall(k)+1,2));
%求右边交点起点距
dr=temp(smalltobig(k),1)+(z-temp(smalltobig(k),2))*(temp(smalltobig(k)+1,1) ...
-temp(smalltobig(k),1))/(temp(smalltobig(k)+1,2)-temp(smalltobig(k),2));
%Width表示相应水深的水面宽
Width=dr-dl;
%计算过水断面面积
darea=(z-temp(bigtosmall(k)+1,2))*(temp(bigtosmall(k)+2,1)-dl)/2 ...
+(z-temp(smalltobig(k),2))*(dr-temp(smalltobig(k)-1,1))/2;
%累加梯形面积
for m=bigtosmall(k)+2:1:smalltobig(k)-1
darea=darea+(z-temp(m,2))*(temp(m+1,1)-temp(m-1,1))/2;
end
%计算湿周
dwetcycle=sqrt((temp(bigtosmall(k)+1,1)-dl)^2+(temp(bigtosmall(k)+1,2)-z)^2) ...
+sqrt((temp(smalltobig(k),1)-dr)^2+(temp(smalltobig(k),2)-z)^2);
%累加湿周
for n=bigtosmall(k)+2:1:smalltobig(k)
dwetcycle=dwetcycle+sqrt((temp(n,1)-temp(n-1,1))^2+(temp(n,2)-temp(n-1,2))^2);
end
%分别为水位、水面宽、过水断面面积、湿周和水力半径
Sct(j,1+5*(i-1))=z;
Sct(j,2+5*(i-1))=Sct(j,2+5*(i-1))+Width;
Sct(j,3+5*(i-1))=Sct(j,3+5*(i-1))+darea;
Sct(j,4+5*(i-1))=Sct(j,4+5*(i-1))+dwetcycle;
Sct(j,5+5*(i-1))=Sct(j,3+5*(i-1))/Sct(j,4+5*(i-1));
end
end
end
%--------------------------------------------------
%分为t个时间层循环，求解五对角矩阵
for k=1:1:t
for i=1:2:N-2
%利用差分确定前后断面与相应水位的大小关系
p_m1=diff(Sct(:,1+5*(i-1)/2)>x(i));
p_m2=diff(Sct(:,6+5*(i-1)/2)>x(i+2));
%记录下前一个断面由负转正的零点位置
stob1=find(p_m1==1);
%记录下后一个断面由负转正的零点位置
stob2=find(p_m2==1);
%Zu1表示内插后上断面水位较小值，Zu2表示上断面水位较大值
Zu1=Sct(stob1,1+5*(i-1)/2);
Zu2=Sct(stob1+1,1+5*(i-1)/2);
%x(i)表示上断面实际水位，alpha表示上断面的(Z-Z1)/(Z2-Z1)
alpha=(x(i)-Zu1)/(Zu2-Zu1);
%Zd1表示内插后下断面水位较小值，Zd2表示下断面水位较大值
Zd1=Sct(stob2,6+5*(i-1)/2);
Zd2=Sct(stob2+1,6+5*(i-1)/2);
%x(i+2)表示下断面实际水位，beta表示下断面的(Z-Z1)/(Z2-Z1)
beta=(x(i+2)-Zd1)/(Zd2-Zd1);
%Bu1表示内插后上断面水面宽较小值，Bu2表示上断面水面宽较大值，Bu表示上断面实际水面宽
Bu1=Sct(stob1,2+5*(i-1)/2);
Bu2=Sct(stob1+1,2+5*(i-1)/2);
Bu=Bu1+alpha*(Bu2-Bu1);
%Bd1表示内插后下断面水面宽较小值，Bd2表示下断面水面宽较大值，Bd表示下断面实际水面宽
Bd1=Sct(stob2,7+5*(i-1)/2);
Bd2=Sct(stob2+1,7+5*(i-1)/2);
Bd=Bd1+beta*(Bd2-Bd1);
%Baverage表示上下断面水面宽平均值
Baverage=(Bu+Bd)/2;
%Au1表示内插后上断面过水面积较小值，Au2表示上断面过水面积较大值，Au表示上断面实际过水面积
Au1=Sct(stob1,3+5*(i-1)/2);
Au2=Sct(stob1+1,3+5*(i-1)/2);
Au=Au1+alpha*(Au2-Au1);
%Ad1表示内插后下断面过水面积较小值，Ad2表示下断面过水面积较大值，Ad表示下断面实际过水面积
Ad1=Sct(stob2,8+5*(i-1)/2);
Ad2=Sct(stob2+1,8+5*(i-1)/2);
Ad=Ad1+beta*(Ad2-Ad1);
%Aaverage表示上下断面过水面积平均值
Aaverage=(Au+Ad)/2;
%uu表示上断面流速，ud表示下断面流速，x(i+1)、x(i+3)分别表示Qi、Q_i+1
uu=x(i+1)/Au;ud=x(i+3)/Ad;
%uaverage表示上下断面平均流速
uaverage=(uu+ud)/2;
%Ru1表示内插后上断面水力半径较小值，Ru2表示上断面水力半径较大值，Ru表示上断面实际水力半径
Ru1=Sct(stob1,5+5*(i-1)/2);
Ru2=Sct(stob1+1,5+5*(i-1)/2);
Ru=Ru1+alpha*(Ru2-Ru1);
%Rd1表示内插后下断面水力半径较小值，Rd2表示下断面水力半径较大值，Rd表示下断面实际水力半径
Rd1=Sct(stob2,10+5*(i-1)/2);
Rd2=Sct(stob2+1,10+5*(i-1)/2);
Rd=Rd1+beta*(Rd2-Rd1);
%Raverage表示上下断面水力半径平均值
Raverage=(Ru+Rd)/2;
%计算B向量各元素，B(i+1),B(i+2)分别为河段上下断面水位和流量之和即C1，C2
B(i+1)=x(i)+x(i+2);
B(i+2)=x(i+1)+x(i+3);
%lambda表示网格比
lambda=2*dt/dx((i+1)/2);
%计算五对角阵对角线向量I,分别为B,G
I(i+1)=-lambda/Baverage;I(i+2)=g*Aaverage*lambda;
%计算对角线上一行向量J,分别为C,H
J(i+1)=c;
J(i+2)=1+uaverage*lambda+g*n0*n0*abs(uaverage)*dt/Raverage^(4/3);
%计算对角线上两行向量K
K(i)=0;K(i+1)=-I(i+1);
%计算对角线下一行向量
M(i)=a;M(i+1)=J(i+2)-2*uaverage*lambda;
%O为对角线下两行向量.O(i)为方程组系数E,E=-G，O(i+1)为0已经初始化
O(i)=-I(i+2);
end
%构造五对角矩阵A
A=diag(I)+diag(J,1)+diag(K,2)+diag(M,-1)+diag(O,-2);
%解五对角矩阵差分方程组并赋给X向量存储
X(:,k+1)=A\B';
%更新解向量
x=X(:,k+1)';
end
%--------------------------------------------------
%从组合矩阵X中提取出水位Z和流量Q
%X的每一列表示一个时段的计算结果
%Z,Q的每一行表示一个时段的计算结果
for i=1:2:N
j=(i+1)/2;
Z(:,j)=X(i,:)';Q(:,j)=X(i+1,:)';
end
%绘制出水位和流量三维图
figure(1);
mesh(Z);
xlabel('河段n');
ylabel('时间k/300s');
zlabel('水位/m');
figure(2);
mesh(Q);
xlabel('河段n');
ylabel('时间k/300s');
zlabel('流量(m^2/s)');
%--------------------------------------------------