从动态规划方面（dp)讨论背包问题
首先，看一个基础的问题：
#### 【物品无限的背包问题】: n种物品，每种均有无穷个，第i种物品的体积为v[i],价值为w[i]，装C容量的背包，不超过C的情况下价值最多为？
输入：
3 3
1 2
3 1
2 2
输出：
6
//求以C为起点的，边权之和最大的路径，类似一个带权图，直接用递推的方法
//无限背包问题【递推法】
#includef[i]为当容积为i时,不超过i的情况所得价值最大的值。由最外的for循环由1到C一次次记录值并选择最优解。
//递推与记忆化搜索循环的不同开始值：
OK，既然有递推就肯定有（递归形式的）即记忆化搜索。这两种不同的就是：
递推是一次次的循环，最外层从1开始，重点f[i]=max(f[i]，f[i-v[j]]+w[j])
记忆化搜索（递归）是一次次的调用自身，根据上式转变，最开始从C开始，重点f[i]=max(f[i],dp[i-v[i]]+w[j])
重点强调【记忆化搜索】：（百科解释）
算法上依然是搜索的流程，但是搜索到的一些解用动态规划的那种思想和模式作一些保存。
一般说来，动态规划总要遍历所有的状态，而搜索可以排除一些无效状态。
更重要的是搜索还可以剪枝，可能剪去大量不必要的状态，因此在空间开销上往往比动态规划要低很多。
记忆化算法在求解的时候还是按着自顶向下的顺序，但是每求解一个状态，就将它的解保存下来，以后再次遇到这个状态的时候，就不必重新求解了！！！
这种方法综合了搜索和动态规划两方面的优点，因而还是很有实用价值的。
//无限背包问题【记忆搜索法】
#include;
;
;
;
;
【0-1背包问题】：跟上题一样，只是每个物品唯一。
//分析：
n件物品每样只有一个，选择拿或不拿。先考虑递推，上面的方法明显就不适合了。只凭剩余体积这个状态，无法得知每个物品是否用过。即原来的状态转移太乱了，任何时候都允许使用任何一种物品。需要让状态转移有序化。
“多阶段决策问题”，即每做一次决策就可以得到解的一部分，所有决策做完后，完整解出来了。在回溯法中，每次决策对应于给一个结点产**生新的子树，即结点的层数就是下一个填充的位置cur。
此类问题多用动态规划解决，其中状态的转移类似回溯法中的解答树，其”层数“相当于递归函数中的”cur“，即动态规划中的”阶段“。
其状态方程为 d(i,j)=max(d[i+1][j]， d[i+1][j-v[j]]+w[j]) d[i][j]表示当前第i层，背包剩余容量为j时接下来的最大重量和。即把第i，i+1，i+2…..n个物品装到容量为j的背包中的最大总重量。答案为d[1][C].代码：
//0-1背包问题【递归法】
#include再来一个记忆化搜索：
//0-1背包问题【记忆搜索法】
#include//如何编写记忆化搜索
（上面的这个tips,再补充一下：搜索记忆法两个关键，一个初始化，一个递归。初始化直接决定了递归中的条件判定！这条件判定的作用就是判断此次状态是否被求解过，避免重复求解。
1.当你把初始值定为0时，就要所求值是否有0的可能！所以在if(d!=0) return d; 前再加一个if(i>n) return 0；更加保险！
2.当你把初始值定为-1时，这个比较保险，if(d!=-1) return d;但是记忆化搜索到最底层数据时，你要另外赋值，不然难道返回-1吗？ ………有趣的是，我刚才实验了一下，将初始值改为-1，由于没有底层状态判断，它会一直调用自己直到数组下标最大值，但是返回的值却是0，并非-1，我有点疑惑，希望知道的朋友能告诉我。…………………….背包情况可用if(i==n) return 0; 可解决上面重复循环的问题，当然，具体代码不同，所判断条件不同，但重点就是注意最底层状态的判断及返回值。
//递推与记忆化搜索，比较
递推法：for循环将顺序变得非常明显，但是把每一个可能的（有的不需要）情况都枚举了（递推的关键是边界和计算顺序！！！）。
记忆搜索法：程序更加直观，通过每一次对自身函数的调用，只会计算有需要的值，省去大量不必要的状态（记忆搜索法 的关键是初始化和递归）
动态规划是一种问题求解方法，但它有几种不同的基本思路：递归，递推，记忆化搜索，但基本忽略递归，时间复杂度为（2^n)会超时，其它为（n^2)。
贴一下递归的代码，当然是不推荐的，只供了解：
//0-1背包问题【递归法】
#include 1,v);
else
max2=w[n]=f(n-1,v-c[n])+w[n];
if(max1>max2)
return max1;
else
return max2;
}
}
void main(void)
{
int n,v;
int i,max;
printf("请输入背包的容量:");
scanf("%d",&v);
printf("请输入物品的个数:");
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
printf("请输入第%d个物品的重量和价值:",i);
scanf("%d%d",&c[i],&w[i]);
}
max=f(n,v);
printf("背包取得的最大收益为%d\n", max);
}