动态规划算法 背包问题(01)

动态规划算法
1）动态规划（Dynamic Progamming）算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2）动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若千个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3）与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）
4）动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

背包问题：有一个背包，容量为4磅，现有如下物品

1）要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出

2）要求装 入的物品不能重复

思路分析和图解
背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包（完全背包指的是：每种物品都有无限件可用）
这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。

算法的主要思想

利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i]和v问来确定是否需要将该物品放入背包中。

即对于给定的n个物品，设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。

再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果：

(1)  v[i][0]=v[0][j]=0; //表示填入表第一行和第一列是0      

(2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j]  // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略       (3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}

package com.zx.ds.algorithm;

//01背包问题

import java.util.Arrays;

public class KnapsackProblem {

    public static void main(String[] args) {
        //物品的价值
        int val[]={1500,3000,2000};
        //物品的重量
        int w[]={1,4,3};
        //背包的容量
        int m=4;
        //物品的个数
        int n=val.length;

        //创建二维数组，
        //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
        int v[][]=new int[n+1][m+1];
        //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
        int path[][]=new int[n+1][m+1];

        //初始化第一行和第一列
        for(int i=0;ij){
                    v[i][j]=v[i-1][j];
                }else{
                    //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j],val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                    if(v[i-1][j]0&&j>0){
            if(path[i][j]==1){
                System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
                j=j-w[i-1];
            }
            i--;
        }
    }
}

//[0, 0, 0, 0, 0]
//[0, 1500, 1500, 1500, 1500]
//[0, 1500, 1500, 1500, 3000]
//[0, 1500, 1500, 2000, 3500]
//第3个商品放入到背包
//第1个商品放入到背包