算法——欧几里得算法

欧几里得算法

欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。
古希腊数学家欧几里得在其著作中《The Elements》中最早描述了这种算法，所以叫欧几里得算法。

a*x + b*y = gcd(a, b);
存在唯一的x, y使得上面等式成立。

算法原理

欧几里得算法主要就需要一个叫GCD递归定理的支撑。

gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

gcd在这里指最大公约数，意思就是a与b的最大公约数与b与a mod b的最大公约数相同。

下面我们就来证明一下这个定理：

|在这里的意思是就是整除

欧几里得算法的代码表示

int Gcd(int a, int b)
{
     
	if(b == 0)
		return a;
	else
		return Gcd(b, a % b);
}

用30和21这个例子来证明一下代码的正确性：

Gcd(30, 21);-->
Gcd(21, 9);-->
Gcd(9, 3);-->
Gcd(3, 0);-->
Gcd = 3;

参考文献

[1]算法导论（第三版）