算法——中国剩余定理

中国剩余定理

中国剩余定理又称中国余数定理，是数论中一个关于一元线性同余方程组的定理，说明了一元线性同余方程组有解的准则以及求解方法。

求解方法

中国剩余定理原理

主要用到两个定理：

a mod b = c 等价于 (a + nb) mod b = c;
a mod b = c 等价于 2a mod 2b = 2c;

中国剩余定理代码表示

void Gcd(int a, int b, int &x, int &y){
     
    //根据欧几里德定理
    if(b == 0){
     //任意数与0的最大公约数为其本身。
        x = 1;
        y = 0;
    }else{
     
        int x1, y1;
        Gcd(b, a % b, x1, y1);
        if(a*b < 0){
     //异号取反
            x = - y1;
            y = a/b*y1 - x1;
        }else{
     //同号
            x = y1;
            y = x1 - a/b* y1;
        }
    }
}

// a为被除数组，m为余数，k为被除数组个数1
int China_res_con(int a[],int m[],int k)
{
     
	int N[k];
	int min_com_mult = 1;	//最小公倍数
	int result  = 0;
	
	for(int i = 0;i < k;i++)
	{
     
		min_com_mult *= m[i];
	}

	for(int j = 0;j < k; j++)
	{
     
		int L, J;
		Gcd(min_com_mult/m[j],-m[j],L,J);
		N[j] = m[j] * J + 1;//1
        N[j] = mm/m[j] * L;//2 【注】1和2这两个值应该是相等的。
        result += N[j]*a[j];
	}
	return result % min_com_mult;
}

参考文献

[1] 算法导论（第三版）
[2] hard_man.中国剩余定理(孙子定理)的证明和c++求解.2012.07.10