欧几里得算法与扩展欧几里得算法(Gcd and Exgcd)

作用：求最大公约数
欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
证明过程:

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
因此辗转相除代码如下：

int Gcd(int a, int b)
{
     
    if(b == 0)
        return a;
    return Gcd(b, a % b);
}
//迭代形式
int Gcd(int a, int b)
{
     
    while(b != 0)
    {
     
        int r = b;
        b = a % b;
        a = r;
    }
    return a;
}

扩展欧几里得：
作用:在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在，根据数论中的相关定理)。
扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

一种用来求解形如ax+by=gcd(a,b)的同余方程的算法

//实现方式
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
     
    if(b == 0)
    {
     
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exGcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a / b * y;

    return r;
}

或者是

#include  
#include   
using namespace std;
int a,b,x,y;
void exgcd(int a,int b){
     
    if(b==0){
     
        x=1,y=0;
        return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    int temp=x;
    x=y,y=temp-a/b*y;
    return;
}
int main(){
     
    cin>>a>>b;
    exgcd(a,b);
    //cout<
}

具体证明过程：
证明过程
详情请看此篇文章