最小生成树-Kruskal算法-Prim算法

【最小生成树定义】

对于图G = （V，E），边附带权值w[]，能找到一棵树T，顶点数为（V-1），使所有的边权值加起来最小...

【Kruskal算法-From 算法导论】

1.  A <- 空集                           // initially A is empty
2.  for each vertex v ∈ V[G]          // line 2-3 takes O(V) time
3.        do Create-Set(v)             // create set for each vertex
4.  sort the edges of E by nondecreasing weight w
5.  for each edge (u,v)∈E, in order bynondecreasing weight
6.        do if Find-Set(u) != Find-Set(v) // u & v on different trees
7.                 then  A <- A ∪ {(u,v)}
8.                          Union(u,v)
9.  return A

Total running time is O(E lg E).

【Kruskal算法-时间复杂度】

Lines 1-3 (initialization):  O(V)
Line 4 (sorting):  O(E lg E)
Lines 6-8 (set operations):  O(E log E)
Total: O(E log E)

【Kruskal算法-问题】

问题1：lg和log是怎么一回事呢？ 实际上这两个的底数可能不一样，但是数量级别是一致的，为了方便，都是正确....

问题2：我感觉编程好难实现这个Union操作...Create-Set，Find-Set...用链表吗？

问题3：给edge根据权值排序就不太顺手....

问题4：Line 6~8 怎么要用到 O（E log E）呢，不是每个边找一次，O（E）吗？

【问题的解答】

Union 和 Create-Set Find-Set 用一个数组root[] 就简单解决了，root[i] 放着 i 顶点的根

Create-Set的时候： root[i] = i ;

Find-Set 的时候：return root[i] ;

Union（a，b）的时候， 把b所在树的所有顶点都移植给a所在树：root[i] = root[a];

【Kruskal算法-C++代码】

#include 
#include 

using namespace std;

struct CEdge
{
    int u;
    int v;
    int weight;

    CEdge(){}
    CEdge(int u,int v,int w):u(u),v(v),weight(w){}
};


int *root;


bool compare(CEdge a,CEdge b)
{
    return  a.weight < b.weight;//ÉýÐò..
}

int Find(int x)
{
    return root[x];
}

void Union(int a,int b,int V)
{
    int root_a = Find(a);
    int root_b = Find(b);
    if(root_a != root_b)
    {
        root[b] = root_a;
        //如果a，b不在同一棵树，要把b所在树的所有顶点都移植过去给a...
        for(int i = 1 ; i <= V;i++)
            if(root[i] == root_b)
                root[i] = root_a;
    }
}

void Kruskal(int V,int E,CEdge *e)
{
    for(int i = 1 ; i <= V;i++)
        root[i] = i;

    //order by weight in edge
    sort(e,e+E,compare);

    for(int i = 0 ; i < E;i++)
        if(Find(e[i].u) != Find(e[i].v))
        {
            cout<

【Kruskal-实验结果】

8---7 7---6 9---3 2---1 6---3 4---3 3---2 5---4

【Prim算法】

设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。
1、把v0放入U。
2、在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。
3、把②找到的边的v加入U集合。如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行。

【Prim算法-时间复杂度】

O((n+e) lg n) 

【Prim算法-C++代码】

#define MAXN 1000
#define INF 1<<30
int closest[MAXN],lowcost[MAXN],m;// m为节点的个数
int G[MAXN][MAXN];//邻接矩阵
int prim()
{
    for(int i=0;i