最小生成树-Kruskal算法-Prim算法
【最小生成树定义】
对于图G = （V，E），边附带权值w[]，能找到一棵树T，顶点数为（V-1），使所有的边权值加起来最小...
【Kruskal算法-From 算法导论】
1. A <- 空集 // initially A is empty
2. for each vertex v ∈ V[G] // line 2-3 takes O(V) time
3. do Create-Set(v) // create set for each vertex
4. sort the edges of E by nondecreasing weight w
5. for each edge (u,v)∈E, in order bynondecreasing weight
6. do if Find-Set(u) != Find-Set(v) // u & v on different trees
7. then A <- A ∪ {(u,v)}
8. Union(u,v)
9. return A
Total running time is O(E lg E).【Kruskal算法-时间复杂度】
Lines 1-3 (initialization): O(V)
Line 4 (sorting): O(E lg E)
Lines 6-8 (set operations): O(E log E)
Total: O(E log E)
【Kruskal算法-问题】
问题1：lg和log是怎么一回事呢？ 实际上这两个的底数可能不一样，但是数量级别是一致的，为了方便，都是正确....
问题2：我感觉编程好难实现这个Union操作...Create-Set，Find-Set...用链表吗？
问题3：给edge根据权值排序就不太顺手....
问题4：Line 6~8 怎么要用到 O（E log E）呢，不是每个边找一次，O（E）吗？
【问题的解答】
Union 和 Create-Set Find-Set 用一个数组root[] 就简单解决了，root[i] 放着 i 顶点的根
Create-Set的时候： root[i] = i ;
Find-Set 的时候：return root[i] ;
Union（a，b）的时候， 把b所在树的所有顶点都移植给a所在树：root[i] = root[a];
【Kruskal算法-C++代码】
#include
#include
using namespace std;
struct CEdge
{
int u;
int v;
int weight;
CEdge(){}
CEdge(int u,int v,int w):u(u),v(v),weight(w){}
};
int *root;
bool compare(CEdge a,CEdge b)
{
return a.weight < b.weight;//ÉýÐò..
}
int Find(int x)
{
return root[x];
}
void Union(int a,int b,int V)
{
int root_a = Find(a);
int root_b = Find(b);
if(root_a != root_b)
{
root[b] = root_a;
//如果a，b不在同一棵树，要把b所在树的所有顶点都移植过去给a...
for(int i = 1 ; i <= V;i++)
if(root[i] == root_b)
root[i] = root_a;
}
}
void Kruskal(int V,int E,CEdge *e)
{
for(int i = 1 ; i <= V;i++)
root[i] = i;
//order by weight in edge
sort(e,e+E,compare);
for(int i = 0 ; i < E;i++)
if(Find(e[i].u) != Find(e[i].v))
{
cout<
【Kruskal-实验结果】
8---7 7---6 9---3 2---1 6---3 4---3 3---2 5---4
【Prim算法】
设图G =（V，E），其生成树的顶点集合为U。
1、把v0放入U。
2、在所有u∈U，v∈V-U的边(u，v)∈E中找一条最小权值的边，加入生成树。
3、把②找到的边的v加入U集合。如果U集合已有n个元素，则结束，否则继续执行。
【Prim算法-时间复杂度】
O((n+e) lg n)
【Prim算法-C++代码】
#define MAXN 1000
#define INF 1<<30
int closest[MAXN],lowcost[MAXN],m;// m为节点的个数
int G[MAXN][MAXN];//邻接矩阵
int prim()
{
for(int i=0;i