Day13：拓展欧几里得算法

Day13：拓展欧几里得算法

一. 问题背景：

计算a、b两个整数的最大公约数。

二. 解决思路：

1. 欧几里得算法（辗转相除法）：

        辗转相除法， 又名欧几里得算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。

     

              

2. 更相减损法：

        第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
　　            第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
　　            则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。 

             

3. Stein算法：

        辗转相除法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论从理论还是从实际效率上都是很好的。但是却有一个致命的缺陷，这个缺陷在素数比较小的时候一般是感觉不到的，只有在大素数时才会显现出来：一般实际应用中的整数很少会超过64位（当然已经允许128位了），对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，比如说RSA加密算法至少要求500bit密钥长度，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

        Stein算法很好的解决了辗转相除法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法。下面就来说一下Stein算法的原理：

            1. 若a和b都是偶数，则记录下公约数2，然后都除2（即右移1位）；

            2. 若其中一个数是偶数，则偶数除2，因为此时2不可能是这两个数的公约数了

            3. 若两个都是奇数，则a = |a-b|，b = min(a,b)，因为若d是a和b的公约数，那么d也是|a-b|和min(a,b)的公约数。

        Stein算法比辗转相除法更加快速，简易。它与每一次进行更相减损法得到的结果似乎存在着微妙的联系，通过下面的比较，可以发现两种算法之间的联系。

                        

4. 扩展欧几里得算法：

        拓展欧几里得算法是欧几里得算法的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数）。通常谈到最大公因子时, 我们都会提到一个非常基本的事实（详见注1）：若设a,b是整数，则存在整数x,y，使得ax+by=gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

 

                

        拓展欧几里得算法证明：转自：https://blog.csdn.net/lincifer/article/details/49391175

                

三. 算法实现：

#模拟矩阵表示
def gcd(x, y):
    u0, v0 = 1, 0
    u1, v1 = 0, 1
    while y:
        q = x // y
        u0, u1 = u1, u0 - q * u1
        v0, v1 = v1, v0 - q * v1
        x, y = y, x % y     #gcd(x, y) = gcd(y, x%y)
    return x, u0, v0

#print(gcd(2*3*7*9*11, 6*12*13))
print(gcd(30, 47))


#递归
def ext_euclid(a, b):     
    if b == 0:         
        return 1, 0, a     
    else:
        # q = gcd(a, b) = gcd(b, a%b)  欧几里得算法          
        x, y, q = ext_euclid(b, a % b)      
        x, y = y, (x - (a // b) * y)      
        return x, y, q

print(ext_euclid(47,30))

附录：

贝祖定理/裴蜀定理：

        裴蜀定理说明了对任何整数 a、b和它们的最大公约数 d ，关于未知数 x 和 y 的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）。其中丢番图方程又名不定方程、整系数多项式方程，是变量仅容许是整数的多项式等式；番图问题有数条等式，其数目比未知数的数目少；丢番图问题要求找出对所有等式都成立的整数组合。对丢番图问题的数学研究称为丢番图分析。

      

        其中，d|a意为d整除a（a可以被d整除），⌊a/s⌋意为（a/s）向下取整。

        原作者最后一行应更正为d | (ax1+by1)。

        引自：https://blog.csdn.net/discreeter/article/details/69833579