中国剩余定理

CRT

CRT 是用来解决一元线性同余方程组的。

例如，对于下面的方程组：
$$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\\ \cdots \cdots \\ x\equiv a_n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_n)\end{array}$$

其中，$m_1,m_2,...,m_n$ 是两两互质的整数。

我们令 $m=\prod _{i=1}^n{m}_i$，$M_i=\frac{m}{m_i}$，$t_i$ 是方程 $M_i{t}_i\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$ 的一个解。

那么 $x$ 有整数解，解为 $x=\sum _{i=1}^n{a}_i{M}_i{t}_i$。

证明如下：
因为 $M_i=\frac{m}{m_i}$ 是除了 $m_i$ 之外所有模数的倍数，所以对于 $\forall k̸=i$，有 $M_i\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)$，也即 $a_i{M}_i{t}_i\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_k)$。
又因为 $a_i{M}_i{t}_i\equiv a_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_i)$，所以如果代入 $x=\sum _{i=1}^n{a}_i{M}_i{t}_i$，原方程组成立。
可以理解成每个 $a_i{M}_i{t}_i$ 只对 $i$ 这个方程有贡献，对其他方程都没有影响。
证毕。

这时，解出来的 $x$ 是一个特解，通解可以用 $x+km(k\in \mathbb{Z})$ 表示。

如果题目要我们求最小整数解，只需把 $x$ 对 $m$ 取模，使得 $x\in [0,m-1]$ 即可。

模板题：[51nod 1079] 中国剩余定理

exCRT

CRT 有一个缺陷，就是它只能解决 $m$ 两两互质问题，若不满足 $m$ 两两互质，我们就要用到 exCRT 算法了。

我们考虑能否把 $\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{m}_2)\end{array}$ 合并成一个方程。

把这个方程组变形，得到 $\{\begin{array}{l}x=a_1+m_1{y}_1\\ x=a_2+m_2{y}_2\end{array}$，也即 $m_1{y}_1-m_2{y}_2=a_2-a_1$。

那我们就可以用扩展欧几里得算法来解这个式子。

如果这个式子无解，则原同余方程组无解。

否则的话，解出一组可行解 $(y_1,y_2)$，代回去解出一个关于 $x$ 的可行解 $x_1$，令 $m=\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(m_1,m_2)$。上述的方程组就等价于：

$$x\equiv x_1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$$

两两合并，最后只剩下 $1$ 个方程，解出来便是答案。

模板题：[POJ 2891] Strange Way to Express Integers