计算最大公约数的两种算法：辗转相除法和Stein算法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) 其算法用C++语言描述为： int gcd(int m, int n) { if (m == 0) return n; if (n == 0) return m; if (m < n) { int tmp = m; m = n; n = tmp; } while (n != 0) { int tmp = m % n; m = n; n = tmp; } return m; } Stein算法： 欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。 考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位，对于这样的整数，计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。 Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法 算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。 为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论： gcd(a,a) = a，也就是一个数和他自身的公约数是其自身 gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除 有了上述规律就可以给出Stein算法如下： 1.如果A=0，B是最大公约数，算法结束 2.如果B=0，A是最大公约数，算法结束 3.设置A1 = A、B1=B和C1 = 1 4.如果An和Bn都是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn /2，Cn+1 =Cn *2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可) 5.如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数) 6.如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1 =Bn /2，An+1 =An ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数) 7.如果An和Bn都不是偶数，则An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)，Cn+1 =Cn 8.n++，转4 这个算法的原理很显然，所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。 考虑欧几里德算法，最恶劣的情况是，每次迭代a = 2b -1,这样，迭代后，r= b-1。如果a小于2N，这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤ ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数Stein将更有优势。 其算法用C++语言描述为： bool is_even(int n) { return !(n & 1); } int gcd2(int m, int n) { int c = 1; while (m != 0 && n != 0) { if (is_even(m) && is_even(n)) { m >>= 1; n >>= 1; c <<= 1; } else if (is_even(m) && !is_even(n)) { m >>= 1; } else if (!is_even(m) && is_even(n)) { n >>= 1; } else if (!is_even(m) && !is_even(n)) { int m1 = m; int n1 = n; m = abs(m-n); //crt库函数 n = min(m1, n1);//crt宏 } } return c * n; }