【Leetcode】458. Poor Pigs（配严格数学证明）

题目地址：

https://leetcode.com/problems/poor-pigs/

（本文配了对题目解答的严格数学证明，不仅证明了至少所需要小猪数量的上界，也证明了下界。绝大部分网上的文章只是说明了一定数量的小猪可以找到毒水，但没有证明为什么少于那么多小猪就找不到毒水。题目问的是最少需要的小猪数量是多少，所以解的正确性和最优性都必须要证明。本文对最优性也给予了严格证明。）

给定一列桶，其中有且仅有一只桶里面是毒药，其余都是普通的水。如果一个小猪喝了毒水，过一段fixed的时间会毒死（在这段时间里不能喝别的水，只能观察）。假设小猪每次可以同时喝很多桶水，并且每次小猪们如果喝水也都是同时喝。给定一段时间，问多少只小猪可以保证在这段时间里验证出哪只桶有毒。

这道题实际上是一道编码理论的题。我们先证明一个引理：
设有一列数字$0,1,2,3,...,n-1$，一共$n$个数字；假设有一个人甲，心中想了一个在这个范围内的数字，另一个人乙想猜出甲心中想的是什么数字，但乙只能问形如$k$选$1$的选择题，并且有且仅有一个选项是对的。问乙至少需要问多少次才能保证必然能猜出甲心中想的数字。

假设乙至少要问$c$次就能猜出。我们先考虑$c$的上界。将$0,1,2,...,n-1$这$n$个数字转换为$k$进制整数，那么最大的数$n-1$有$\lfloor {\log }_k(n-1)\rfloor +1$位（这里多少位的意思是，写成最高位非$0$的$k$进制数后，有多少位）。

我们先证明这个小结论。设$m$在$k$进制下有$x$位，那么必然有$k^{x-1}\le m\le k^x-1$（因为$x$位$k$进制的最小数是一个$1$后面跟$x-1$个$0$，也就是$1000...=k^{x-1}$，最大数是$x$个$1$，也就是$111...=k^x-1$），所以有$${\log }_k(m+1)\le x\le {\log }_{k}m+1$$由于$x$是整数，所以$x\le \lfloor {\log }_{k}m\rfloor +1$，而又因为$x$是存在且唯一的，所以$x=\lfloor {\log }_{k}m\rfloor +1$（这里的逻辑是，既然$x$是满足$k^{x-1}\le m\le k^x-1$的唯一整数，又有这个不等式${\log }_k(m+1)\le x\le {\log }_{k}m+1$，而$\lfloor {\log }_{k}m\rfloor +1$这个数代入$x$是满足不等式的，所以$x$就等于它），证毕。

接下来就可以求$c$到底是多少了：
步骤1：证明$c\le \lfloor {\log }_k(n-1)\rfloor +1$。只需证明存在这样一种问法，每次问$k$选$1$的选择题，经过不等号右边这么多次，一定能问出甲心里想的数字即可。问题设计如下：
第一个问题，甲心中所想之数在$k$进制下右起第$1$位数是$0,1,...,k-1$中的哪一个；
第二个问题，甲心中所想之数在$k$进制下右起第$2$位数是$0,1,...,k-1$中的哪一个；
第三个问题，甲心中所想之数在$k$进制下右起第$3$位数是$0,1,...,k-1$中的哪一个；
…
第$\lfloor {\log }_k(n-1)\rfloor +1$个问题，甲心中所想之数在$k$进制下右起第$\lfloor {\log }_k(n-1)\rfloor +1$位数是$0,1,...,k-1$中的哪一个；
一共$\lfloor {\log }_k(n-1)\rfloor +1$个问题，每个问题都是$k$选$1$的选择题，并且答案一定存在选项里。很显然这么多问题全得到答案后，乙就知道了甲想的是什么数了。

步骤2：证明$c\ge \lfloor {\log }_k(n-1)\rfloor +1$。反证法。如果存在少于$\lfloor {\log }_k(n-1)\rfloor +1$个数个问题，比如只问$l$个问题，也能问出甲心中所想的数，那么我们按照每个问题，对$0\sim n-1$中的数编码，对于每个数右起第一位数，我们让它等于第一个问题答案的选项编号（从$0$开始）。例如，如果在第一个问题下，数字$i$对应的正确选项是第$j$项，那么我们就让$i$的右起第一位数是$j$。以此类推。这样，$0\sim n-1$中的每个数都映射到了一个$l$进制数。由于$\lfloor {\log }_k(n-1)\rfloor$位$l$进制下最大的数仍然是小于$n$的，根据抽屉原理，这就意味着这$n$个数必然存在两个数，它们被映射到了同一个$l$进制数。假设甲心里想的就是那两个数其中一个，那么乙在问完之后是无法区分是那两个数的哪一个的（因为这两个数在乙的问题下，每道题答案都一模一样，乙无法判断是哪个），这就矛盾了。所以乙如果只问少于$\lfloor {\log }_k(n-1)\rfloor +1$个问题，是不能保证问出结果的。

综上，所以有：$$c=\lfloor {\log }_k(n-1)\rfloor +1$$整个证明过程实际上就是在考虑这样一个问题：如何编码，才能保证解码的时候可以原样还原。

接下来我们就可以解决这道题了。我们把每个桶映射到$0\sim n-1$这些数上去。一只小猪去喝水，它最多可以喝$\frac{minutesToTest}{minutesToDie}$这么多次。令$\frac{minutesToTest}{minutesToDie}+1=k$，每次喝水的时候就相当于在给每个桶编码。具体可以这样做，先让第一只小猪去喝所有$k$进制下个位数为$0$的桶，第二只小猪去喝所有$k$进制下十位数为$0$的桶，这样以此类推。过了第一段时间，如果某只小猪死了，我们就知道了有毒的桶在$k$进制下的某位数是$0$了，如果某只没死，就让它接着喝本位数为$1$的桶。一共最多需要喝$k-1$次（之所以是$k-1$，是因为如果小猪喝了$k-1$次还没死，说明本位数就是$k-1$，并不需要多喝一次才能判断），我们就能知道有毒水的每位数字是几了。所以所需要的小猪数量就是$n-1$在$k$进制下的位数。

用上面的引理来理解就是，每只小猪相当于一个问题，而$\frac{minutesToTest}{minutesToDie}+1$相当于选项数。至少要问多少问题才能得到答案。

代码如下：

public class Solution {
     
    public int poorPigs(int buckets, int minutesToDie, int minutesToTest) {
     
        int k = minutesToTest / minutesToDie + 1;
        int n = buckets - 1;
        int count = 0;
        while (n != 0) {
     
            n /= k;
            count++;
        }
        return count;
    }
}

问题还没有结束。上面只是证明了有那么多只小猪就能保证得到答案，但如何才能证明最少就需要这么多小猪呢？我们只是得到了上界，还没有完全证明出这个上界就等于下界。其实下界可以由那个引理得到。证明如下：

每只小猪喝水，一共喝了$k-1$轮，比如说，第一只小猪，假设每次喝的桶的集合是$A_1,A_2,...,A_{k-1}$这相当于在问一个$k$选题，即有毒的水在$A_1,A_2,...,A_{k-1},C$（其中$C$是其余集合并集的补集）之一吗？每只小猪事实上都相当于在问形如这样的选择题。由前面的引理，要问出结果，至少需要$\lfloor {\log }_k(n-1)\rfloor +1$这么多次问题才行，这就是所需要的小猪的数量。证明完毕。