关于满二叉树的一个证明
本文简单给出了在满二叉树中 内部节点数目( C i C_i Ci) = 叶子节点数目( C l C_l Cl) - 1 的两种证明方法
二叉树大家都不陌生,但是分类上可能大家就不那么熟稔了,本篇博文中提到的所谓满二叉树,定义上也有些分歧,在此我们采用如下定义:
满二叉树(Full Binary Tree),即只存在 度为 0 的节点(叶子节点) 和 度为 2 的节点(内部节点) 的二叉树
(定义中提到的 “度” 即为二叉树节点的分支数目)
根据这个定义,以下的二叉树都是满二叉树:
而下面的二叉树则不是满二叉树,因为存在度为 1 的内部节点:
满二叉树中节点数目满足以下等式:(设叶子节点的数目为 C l C_l Cl, 内部节点的数目为 C i C_i Ci)
C i = C l − 1 C_i = C_l - 1 Ci=Cl−1
证明方法一
上述结论的一般证明方法是这样子的:
- 首先考虑满二叉树的分支数目(设为 B B B)对应的节点数目:
由于除根节点外,所有分支都对应一个节点,所以我们有:
B = C i + C l − 1 B = C_i + C_l - 1 B=Ci+Cl−1
- 再次考虑满二叉树的节点数目对应的分支数目:
由于叶子节点对应 0 个分支(度为 0),内部节点对应 2 个分支(度为 2),所以我们有:
B = C i ∗ 2 + C l ∗ 0 B = C_i * 2 + C_l * 0 B=Ci∗2+Cl∗0
综合上面两式,我们即可证明结论:
C i = C l − 1 C_i = C_l - 1 Ci=Cl−1
证明方法二
实际上,我们还可以使用数学归纳法来证明:
考虑基础情况(只有一个根节点(或者说一个叶子节点)):
此时我们有:
C l = 1 , C i = 0 C_l = 1, C_i = 0 Cl=1,Ci=0
显然满足等式.
接着我们对一般情况进行归纳,由于是满二叉树的关系,所以一般情况一定满足下面的树形结构:
图中的左右子树也都是更小规模的满二叉树.
我们设
- 左子树中的叶子节点数目和内部节点数目分别为 C l l Cl_l Cll 和 C l i Cl_i Cli
- 右子树中的叶子节点数目和内部节点数目分别为 C r l Cr_l Crl 和 C r i Cr_i Cri
于是我们有:
C l l + C r l = C l ( 1 ) C l i + C r i + 1 = C i ( 2 ) C l i = C l l − 1 ( 3 ) C r i = C r l − 1 ( 4 ) \begin{aligned} & Cl_l + Cr_l = C_l & (1)\\ & Cl_i + Cr_i + 1 = C_i & (2)\\ & Cl_i = Cl_l - 1 & (3)\\ & Cr_i = Cr_l - 1 & (4)\\ \end{aligned} Cll+Crl=ClCli+Cri+1=CiCli=Cll−1Cri=Crl−1(1)(2)(3)(4)
将 ( 3 ) (3) (3) ( 4 ) (4) (4) 代入 ( 2 ) (2) (2), 我们有:
C l l − 1 + C r l − 1 + 1 = C i = > C l l + C r l − 1 = C i \begin{aligned} & Cl_l - 1 + Cr_l - 1 + 1 = C_i \\ & => \\ & Cl_l + Cr_l - 1 = C_i \end{aligned} Cll−1+Crl−1+1=Ci=>Cll+Crl−1=Ci
再代入 ( 1 ) (1) (1), 我们即可得出结论:
C l − 1 = C i C_l - 1 = C_i Cl−1=Ci
参考资料
- 二叉树
- 关于二叉树中度为0与度为2节点数关系证明