RSA算法原理——(2)RSA简介及基础数论知识

上期为大家介绍了目前常见加密算法,相信阅读过的同学们对目前的加密算法也算是有了一个大概的了解。如果你对这些解密算法概念及特点还不是很清晰的话,昌昌非常推荐大家可以看看HTTPS的加密通信原理,因为HTTPS加密通信使用了目前主要的三种加密算法,大家可以从中体会到各种加密算法的优缺点。

一、目前常见加密算法简介
二、RSA算法介绍及数论知识介绍
三、RSA加解密过程及公式论证

二、RSA算法介绍及数论知识介绍

如果上期(目前常见加密算法简介)算是天安门前的话,那今天的内容就算是正式通过天安门进入故宫了。

1.RSA算法介绍

对于大多数IT从业者来说RSA算法并不陌生,因为我们多多少少都使用过。而对于非IT从业者来说或许你们知道有加密算法,但是具体的哪种算法可能并不了解,其实对所有人来说都接触过RSA算法,只是你并不知道而已for example:你百度一下或者扫一扫、信用卡付款等这些过程都使用到了RSA加密算法。就目前安全通信来讲,RSA无处不在。

那RSA加密算法究竟是怎么来的呢?

RSA加密算法是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。——维基百科

RSA算法原理——(2)RSA简介及基础数论知识_第1张图片

2.数论知识介绍

其实RSA算法加解密其实就是两个公式,只是为了理解这两个公式我们需要学习数论中的四个概念:互质、欧拉函数、欧拉定理、模反元素,这四个概念都是非常好理解的,不需要有数论的基础,只需要有初高中的数学就够用就能理解,下面我们就来看看这四个概念是什么?

(1)互质关系

如果两个正整数,除了1以外没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系(coprime)。比如,6和21他们的公因子有:3和1,所以6和21就不是互质;而10和21只有一个公因子1,所以它们是互质关系。这说明,不是质数也可以构成互质关系。

有以下几点可构成互质关系:

  1. 任意两个质数构成互质关系,比如13和61
  2. 1和任意一个自然数是都是互质关系,比如1和99
  3. p是大于1的整数,则p和p-1构成互质关系,比如57和56
  4. p是大于1的奇数,则p和p-2构成互质关系,比如17和15
  5. 如果两个数之中,较大的那个数是质数,则两者构成互质关系,比如97和10
  6. 一个数是质数,另一个数只要不是前者的倍数,两者就构成互质关系,比如3和10

(2)欧拉函数

思考:请问10以内的正整数有哪几个与10互质呢?

答案是:{1,3,7,9},10以内可能用手指就可以算过来,那100呢?1000呢?那是不是有什么公式可以计算?答案是有,这就是我们这里要讲的的欧拉函数

任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?

计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示。在1到10之中,与10形成互质关系的是1、3、7、9,所以 φ(10) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂,但是为了得到最后那个公式,需要一步步讨论。对于下面的公式大家稍微记住就行,没必要理解通透,有时候适当的囫囵吞枣能让你学习的更快!

第一种情况

如果n=1,则 φ(1) = 1 。因为1与任何数(包括自身)都构成互质关系


第二种情况

如果n是质数,则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数,都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。


第三种情况

如果n是质数的某一个次方,即 n = p^k (p为质数,k为大于等于1的整数),则
这里写图片描述
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 – 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p,才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个,即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p,把它们去除,剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式:
这里写图片描述

可以看出,上面的第二种情况是 k=1 时的特例。


第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积,

n = p1 × p2

φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如,φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24


第五种情况

因为任意一个大于1的正整数,都可以写成一系列质数的积。
这里写图片描述
根据第4条的结论,得到
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再根据第3条的结论,得到
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也就等于
这里写图片描述
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如,1323的欧拉函数,计算过程如下:
这里写图片描述

(3)欧拉定理

欧拉函数的用处,在于欧拉定理。”欧拉定理”指的是:

如果两个正整数a和n互质,则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:
欧拉定理

也就是说,a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说,a的φ(n)次方减去1,可以被n整除。比如,3和7互质,而7的欧拉函数φ(7)等于6,所以3的6次方(729)减去1,可以被7整除(728/7=104)。

科普:mod为取模,取模运算与取余运算还是有区别。取余的商是靠近0的,而取模的商是靠近负无穷的,看下面的例子:
7 mod 4 = 3(商 = 1 或 2,1<2,取商=1,与取余相同)
-7 mod 4 = 1(商 = -1 或 -2,-2<-1,取商=-2)
7 mod -4 = -1(商 = -1或-2,-2<-1,取商=-2)
-7 mod -4 = -3(商 = 1或2,1<2,取商=1,与取余相同)

欧拉定理的证明比较复杂,这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如,7和10互质,根据欧拉定理,

这里写图片描述

因此,7的任意次方的个位数(例如7的222次方),心算就可以算出来。

欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理,就可以理解RSA。多看几遍欧拉定理的定义,知道公式表达的意思就够了。

(4)模反元素

还剩最后一个概念:

如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得 ab-1 被n整除,或者说ab被n除的余数是1
这里写图片描述

这时,b就叫做a的“模反元素”。

比如,3和11互质,那么3的模反元素就是4,因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然,模反元素不止一个, 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…},即如果b是a的模反元素,则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。
这里写图片描述

可以看到,a的 φ(n)-1 次方,就是a的模反元素。


至此RSA算法的需要的数学知识就讲完了,让我们来总结一下吧:

  1. 如果两个正整数,除了1以外没有其他公因子,我们就称这两个数是互质关系,比如4和15
  2. 任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系?比如10以内的正整数有哪几个与10互质呢?计算这个值的方法就叫做欧拉函数,以φ(n)表示,φ(10)=4,以及欧拉函数的5种情况。
  3. 欧拉定理:如果两个正整数a和n互质,则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立:
    欧拉定理

  4. 如果两个正整数a和n互质,那么一定可以找到整数b,使得 ab-1 被n整除,或者说ab被n除的余数是1,这时,b就叫做a的“模反元素

是不是感觉也不是很难呀,下期我们将一起进入RSA算法最核心的内容:RSA加解密过程及公式论证,我会为大家一步一步的推论,绝对会是最详细的一份RSA算法原理剖析,大家期待吧!

ps:有一份英文介绍RSA加密算法的文档,感兴趣的同学可以看看:The RSA Cryptosystem: History, Algorithm, Primes

附手稿:
RSA算法原理——(2)RSA简介及基础数论知识_第2张图片

转载于:https://www.cnblogs.com/pig66/p/10420961.html

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