同余式可以这样解-同余式是特殊的等式-不定方程的巧妙解法-方程也是等式-计算器

本文标题：同余式可以这样解-同余式是特殊的等式-不定方程的巧妙解法-方程也是等式-计算器

 同余式可以这样解http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/44708f43eb439f309213c67f.htm

http://zhidao.baidu.com/question/436807381.htm

47x≡89 (mod 111）
我的解法一：
47x==89 ==-22  (1式)
94x==-44  注：上式乘2
-17x==-44  
51x==132==21  注：上式乘-3
-4x==68   注：1式-上式
x==-17==94

其本质，就是利用辗转相除(减)法，即欧几里德算法。也可以说是利用了同余式的性质， 类似等式一样处理。
用windows计算器验证：
开始菜单-运行-calc-(回车，运行计算器)_alt_VS(科学型)_复制以下文本到计算器
47*94%111=

我的解法二：利用不定方程：
47x=89+111y
两边mod 47，或者说将47的倍数集中，得
47a==-5+17y  (两式相减知x-a=2+2y)
同理mod17得，
-4a==-5+17b  （两式相减知 3a=y-b)
取b=1,顺次逆求：a=-3, y=-8, x=2-16-3=-17==94 mod 111

外一则：
关于计算器的巧妙使用与脚本，请见：
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/a657620998d3db056a60fb7f.html

对网上某些解答的简化：
7x≡1(mod11)
以下是一个解答。http://zhidao.baidu.com/question/342551543.html    我打算作简化。
设7x=11*y+1(x,y∈N*)       x=y+(4y+1)/7
设(4y+1)/7＝m(m∈N*)        y=m+(3m-1)/4
设(3m-1)/4＝n(n∈N*)        m=n+(n+1)/3
设(n+1)/3＝t(t∈N*)        n=3t-1        m=3t-1+t=4t-1
y=4t-1+3t-1=7t-2
x=7t-2+4t-1=11t-3(t∈N*)        x=8,19,30,......,11t-3,....(t∈N*)
我的简化解法之解二：
21x==3==-x 故x==-3 mod 11
我对不定方程解法之简化并作详细注释==(其中的文字可以省略。仅仅是为了说明，作为心算的程序说明。)
解一：
7x=1+11a       模(mod)7取余，或者说将7的倍数集中，得        
7b=1+4a        两式关系：两式比较可得x-b=a
(这一步可以省，因为可以心算，再两边mod4,得        -b=1+4c        取c=0,顺次回代）
取b=-1,回代得 a=-2,x=-3 mod 11 

http://zhidao.baidu.com/question/202910045.html
解同余式组 X+4Y-29 ≡0（mod143）(1#)，2X-9Y+84 ≡0（mod143) (2#)
朋友们的解答之一：
X+4Y=143m+29（1#）    2X-9Y=143n-84（2#）    2X+8Y=286m+58   （3#=1#*2）
    17Y=286m-143n+142 （3#-2#）

Y=286m/17 -143n/17 +142/17        X=143m+29-4Y 
X=1287m/17 +572n/17 -75/17       这个就是答案了，m和n取任意整数。比如m=1 n=2
代入得  Y=142/17     X=2356/17       X+4Y-29 =143      2X-9Y+84 =2*143  符合

我的评论：其实把同余式作为一个特定的普通方程组来解是可行的，但要转化为同余的结果。
其实，当其中的1/17因子转化为满足17x==1 mod 143的整数即可。当然，上面的过程还是有些繁，

下面的我针对上面的解法而作的解答和注释：
解A
令x=4a,y=-a,使满足2#;此时得17a+84=0 + 143m1 (#3)
令x=9b,y=2b,使满足1#,此时得17b-29=0 + 143m2 (#4)
然后令x,y=(4,-1)a+(9,2)b即为解。（注一）


转化为mod 143， 
17a1-1==7m1, 与#3式比较得，a-(a1)+5=8(m1), 取m1=-5, a1=-2, a=-47
17b1+5==7m2, 与#4式比较得, b-(b1)-2=8m2, 
(再mod7得，3b1-2==7m3, 心算)b1=3, m2=8, b=69
于是x,y==(-188, 47)+(69*9, 138)==-45+69+138*4, 47-5 ==24-20, 42==4,42mod 143
其中有些过程还可以通过心算而简化。（注二）
注一1： 中间过程不必求完全解。
注一2：利用拉格朗日插值原理解方程组。其实中国剩余定理，与插格朗日插值原理一致。
注二： 利用向量或数组来进行运算。另，也可以先求出x,y之一，再求代入求另一个。
注： 上面的过程如果理解了，流程是很简单的，思路也很清晰，步步反推都方便。方程不用移项，只要用除数(模)的倍数在等式中自由滑动就行了。
解B:
解同余式组 X+4Y-29 ≡0（mod143）(1#)，2X-9Y+84 ≡0（mod143) (2#)
假设x=4a,y=-a,此时1#左侧非常数的项成为 0,假设x=1, y=7, 此时1#左侧成为 0

两者线性叠加,即令x,y = 4a+1,-a+7, a为任意整数时,1#恒成立, 2#为 17a+23 =143 m, 
mod 17得 17a1+6 = 7 m, 二式比较得 a-a1+1= 8m
再 mod 7得 3a1-1 =7 m1,取a1=-2, 回代,  m=-4, a==-35 (我这里曾经心算成a=-31而出错.移项真是容易出错.思路上一定要有两边同时加或减来取代移项的思想, 或者一边一边的来, 视线与思维不要乱跳跃为好)
于是 x,y =4a+1, -a+7 == -139,42==4, 42 mod 143

题同上，http://zhidao.baidu.com/question/78063875.html
朋友们的解答之一：依题意可设
x+4y-29=143m(m为正整数）
x=143m+29-4y
2x-9y+84=143n(n为正整数） （注：将上式x代入本式）
所以  2（143m+29-4y)-9y+84=143n
  17y=143(2m-n+1)-1
因为m，n皆为正整数，
所以2m-n+1也为正数。
当2m-n+1=5时，143(2m-n+1)-1刚好是17的倍数，这时y=42,x=4或，147，290，143k+4(k为自然数）
将y=42代入2x-9y+84=143n，可知，2X=294+143N
X=147,290,143k+4(k为自然数）
综上所述，联立同余式的解为X=147,Y=42或X=290,Y=42,或 X=143k+4(k为自然数）,Y=42

我的解答与注释：解同余式组 X+4Y-29 ≡0（mod143）(1#)，2X-9Y+84 ≡0（mod143) (2#)
x+4y-29=143m
2x-9y+84=143n
上式*2-下式得 17y-142=143m1, 集中17的倍数项得 17y1-6=7m2, 与左式比较得 y-y1-8=8m2
再集中7的倍数得 3y1+1=7m3, 可见y1=2, 回代得m2=4, 
于是y=42 mod 143. 再代入原方程得 x==2.

http://zhidao.baidu.com/question/77905484.html
求联立同余式x+4y≡0(mod143),2x-9y+84≡0(mod143)的解
朋友们的解答之一：9x+36y≡0(mod143),
8x-36y+336≡0(mod143),
相加得17x+50≡0(mod143)
17x+50=143t
x=(143t-50)/17
同理可求出y， t为参数

我的解答与注释：解同余式组 X+4Y ≡0（mod143）(1#)，2X-9Y+84 ≡0（mod143) (2#)
解一： 以下各字母都指整数.1式*9+2式*4得,  17x +84*4 =143m1  (注:与==mod 143等价)集中17的倍数或者说各项对17取余得,  17x1-1*4=7m1, 与上式相较，得 x-x1+20=8m1两集中7的倍数得, 3x1-4=7m2, 取x1=-1, 回代，m1=-3, x=-45, 4y==45==188, y==47.综上, x,y==-45,47 mod 143解二: 易得  17y-84==143 m2.  注: 这个解起来比上面略简单。集中 17的倍数得 17y1+1 = 7 m2  与上式相较得 y-y1-5=8m2(心算: mod 7得 y1+1=7m3)易见可取 y1=2, 回代得 m2=5,  y=47 mod 143而 x==-4y== -188== -45 mod 143 

20120615增加下面内容:
http://zhidao.baidu.com/question/437216388.htm
同余式3x≡ 1(mod5)是怎样转化为x≡2 (mod5)的？
3x==1 mod 5
解一: 乘2得
6x==2 mod 5
左边 mod 5得
于是x==2 mod 5
解二: 右边加上5的倍数, 同余式成立,故 
3x==6  再两边同时除以 与5互质的数3,得 x==2

其中利用了同余式的性质#1和#2 :(与等式类似)
#1:  乘以同一等价类的两个数, 同余式成立.
#1': 与模的互质的因子,及其等价类,在等式两边可以分别消去.实际上,除以一个数,相当于乘以他的乘法逆元(这里的一般叫模逆)。
       如 8x ==19 mod 15 , 可以一边消去 4, 一边消去 19 而得到
       2x ==1 mod 15.   注意到, 其中4与19均与15互质, 并且二者对模15同余.
#2:  在两边分别加上同等价类的任意一个数；
#3:  在等式上任何与等号"=="同级的位置与0的同余类作(代数)和. 0的同余类,即余数为0的同余类,即m的倍数,同余式成立.
    其实, 由性质#3, 我们可以视  mod m符号为这样一个滑动数, 可以在等式两边任意移动, 不必考虑正负号, 也不需考虑实际是多少, 只需当作是代数和.
#4: 取整数乘幂, 等式成立.注意, 取分数乘幂(开方)不一定成立,这和等式类似.
#5: 所有 "等价性"的共性: 自反性, 互映性, 传递性.
   一个重要思想是: 在这个意义上, mod m符号就代表着 余数为0的等价类本身, 但是注意, 它可任意移动.

此外, ax == b mod m
还可写成分数形式: x==b /a mod m
由上面的性质, 不难知道这个分数的可变性:
b/a == (kb+mx)/(ka+my) mod m , 其中 k与m互质 
此时可写成 x==1/3 ==6/3 ==2

另外, 我这种视 modm 为m的余数0的可滑动等价类 的观点, 用于解不定方程也极方便.
用这种观点解不定方程的方便性, 可参考我近日写的博文.谢谢.
3x==1 # [5]    注: 这是+ 表示代数和,  [M] 表示模M的任意倍数, 即m的余数0等价类. 也可记为 , 我习惯写为M上加一个圈, 并省略代数和符号.
此题也可以用不定方程来解:
3x = 1 + 5 k
立即取k=1, x=2 mod 5.