【LeetCode 】416. 分割等和子集（0-1背包）逐行注释详解

1. 题目说明

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

注意:

1. 每个数组中的元素不会超过 100
2. 数组的大小不会超过 200

示例 1:

输入: [1, 5, 11, 5]

输出: true

解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

输入: [1, 2, 3, 5]

输出: false

解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

2. 解题思路

本题的重难点，是将其转化为 0-1 背包问题。
对于给定的数组中每一个元素，选择或者不选，使其能够恰好装满容量为 target // 2的背包

dp[ i ][ j ]表示 在区间 [ 0, i ] 中任取几个数(每个数都可以取或者不取)，恰好能装满 容量 j 的包

1. 特判，若 target 为奇数，直接返回 False
2. 令 target = target // 2
3. 初始化 dp = [[False,⋯,False],⋯,[False,⋯,False]]，维度为n*(target+1)
4. 初始化第 0 行，令 dp[ 0 ][ 0 ] = True （可以理解为背包容量为 0 时，可以 “不选择” 第 0 个物品，那就“恰好可以装满”）
5. 遍历第 0 行，将第 0 个物品恰好可以装满的容器置为 True
6. 循环遍历整个表

3. 代码详解

3.1 二维 dp

Python

class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        """ 0-1背包  二维 dp "恰好装满背包的问题"，初始化的时候只能让dp[0][0]为True (合法)，
        其他为False (不合法)，在经典背包问题中，恰好装满的话，是dp[0][0]=0, dp[0][0,...V]=-inf
        参考 https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum/solution/dong-tai-gui-hua-kong-jian-you-hua-zhu-xing-jie--2/
        dp[i][j] 背包剩余容量为j的时候，恰好装前i件物品,
        或者描述为"表示在前i个物品（元素）选或者不选可以装满容量j的背包。"
        dp[0][0] = True 可以理解为，当"不选"第一个(index = 0)物品的时候，恰好可以装满容量为 0 的背包
        """
        
        n = len(nums)
        target = sum(nums)
        if (target % 2 != 0):  # 奇数，无法均分两份
            return False
        target = target // 2   # 走到这一步就是偶数，除半
        # 二维数组，行数n是物品索引（不包含 no item），列数target+1 （包含0） 
        dp = [[False]*(target+1) for _ in range(n)]
        dp[0][0] = True
        # 第0行，第一个数恰好只能让容积为它的背包恰好装满
        # 所以最终dp数组的第0行只有dp[0][0]和dp[0][nums[0]]是true，其他都是默认的初始值false

        if nums[0] <= target:     # 单个数不能超过 target
            dp[0][nums[0]] = True

        for i in range(1, n):             # [1,..., n-1]
            for j in range(0, target+1):  # [0, target]
                if (j < nums[i]):         # 容量太小
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i-1][j-nums[i]]
        #print(dp)
        return dp[-1][-1] 

3.2 一维 dp （空间优化）

二维dp的题目，一般可以通过压缩空间的方式进行优化。

注意：

在转成一维 dp 时，j 的遍历顺序是 逆序的，逆序可以解决正序遍历值覆盖的问题。具体描述在另一篇博客 中有详细说明：

0-1背包问题详解.

Python

# 一维 dp 有三种方法，一步步推进
class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        """ 0-1背包  一维 dp 
        """
        
        n = len(nums)
        target = sum(nums)
        if (target % 2 != 0):  # 奇数，无法均分两份
            return False
        target = target // 2   # 走到这一步就是偶数，除半
        # 二维数组，行数n是物品索引（不包含 no item），列数target+1 （包含0） 
        dp = [False]*(target+1) 
        dp[0] = True

        if nums[0] <= target:     # 单个数不能超过 target
            dp[nums[0]] = True

        for i in range(1, n):             # [1,..., n-1]
        ########################### 法【1】############################
            # for j in range(target, -1, -1):  # [target, 0]
            #     if (j < nums[i]):         # 容量太小
            #         dp[j] = dp[j]         # 由于每次操作对dp[j]值并没改变，所以可以直接去掉。如果是 dp[j]=dp[j]+1这种，那就不能直接去掉这句话了                  
            #     else:
            #         dp[j] = dp[j] or dp[j-nums[i]]
        ############################ 法【2】###########################
            # for j in range(target, -1,-1):   # [target, 0]
            #     if j >= nums[i]:
            #         dp[j] = dp[j] or dp[j-nums[i]] 
        ########################### 法【3】############################
            for j in range(target, nums[i]-1, -1):      # [target,...,nums[i]] 逆序
                dp[j] = dp[j] or dp[j-nums[i]]
        #######################################################
        return dp[-1]

输出结果

本题更准确的理解是：
dp[i][j]表示 在区间[0, i]中任取几个数(每个数都可以取或者不取)，恰好能装满 容量 j
========================================================================================================
            [index(i)]
[capacity(j)]            0   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11    
        1       0        T   T     
        5       1        T   T               T   T 
        11      2        T   T               T   T                     T
        5       3        T   T               T   T                T    T
========================================================================================================
说明：上表中“T”表示 True，未填的 均为 “False”

参考

1. 0-1背包问题详解.
2. LeetCode题解