8.12 k-生成树（k-SPANNING TREE）证明 等题

8.12原题

输入：无向图G=(V, E)
输出：G的一个生成树，其中所有的节点度数都不超过k——如果该树存在。
请证明对任意k>=2：
(a)k-生成树问题是一个搜索问题。
(b)k-生成树问题是NP-完全的。（提示：由k=2开始，考虑该问题与Rudrata路径问题的关联。）

解答

(a) k-生成树问题能够在多项式时间内验证，因此是一个搜索问题。
(b) 假设k=2时，如果要找到一个生成树的节点度都小于等于2，相当于是一条哈密顿路径。因此可以把哈密顿路径问题规约到本问题上。求一个无向图的哈密顿通路是NP完全问题，因此本题也是NP完全问题。

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8.15原题

证明如下问题是NP-完全的：
输入：两个图G1 = (V1, E1)和G2 = (V2, E2)；预算b。
输出：两个节点集合 V1′⊆V1 和 V2′⊆V2 ，它们被移除后，将在两个图中分别留下至少b个节点，且图的剩余部分完全一样。

解答

首先证明它是NP问题：给定一个解时，可以在多项式时间内验证该解，得证。
接下来证明它时NP完全问题：
考虑将最大独立集问题归约到最大公共子图问题，求任意图G=(V, E)的节点数为b的独立集。则令G1=(V, E)，G2=(V, E+?)。则规约到本问题，得证。