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概率统计中的矩

在概率统计文献中经常会看到矩，因此本文总结了矩(moment)的基本概念和常用的计算公式。

参考：https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics)

1、矩的定义

        \mu _n = \int_{-\infty}^{\infty}(x-c)^nf(x)dx

上式是维基百科中矩的定义式，其中x和c是实数，f(x)是一个连续的实函数，如果x来自一个概率分布，并且f(x)是x的概率密度函数，那么就称上式计算的结果为概率分布的n阶矩。

2、矩的离散计算公式

实际中一般使用下面的离散形式，根据式中c取值不同，可以导出原点矩和中心矩的概念。

        \mu _n = E[(X-c)^n]

  • 当c=0时称为原点矩(raw moment)

        \mu _n = E[X^n]

  • 当c=E(X)称为中心矩(central moment)

        \mu _n = E[(X-E(X))^n]

另外标准矩(standardised moment，又称为normalised n-th central moment)的定义如下

        \frac{\mu _n}{\sigma^n} = \frac{E[(X-c)^n]}{\sigma^n}
其中\sigma=(E[(X-E(X))^2])^{\frac{1}{2}}。

3、总结

  1. DSP中常用的RMS(均方根值)就是二阶原点矩的正平方根。
  2. 方差的正平方根又称标准差(standard deviation)。
矩阶数 原点矩 中心矩 标准矩
一阶

E(X)

一阶原点矩又称均值

 一阶中心矩等于0  
二阶

E(X^2)

二阶原点矩又称均方值

E[(X-E(X))^2]

二阶中心矩又称方差

  
三阶    

\frac{E[(X-E(X))^3]}{\sigma^3}

三阶标准矩又称偏度(skewness)
四阶    

\frac{E[(X-E(X))^4]}{\sigma^4}

四阶标准矩又称峭度(kurtosis)

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