【动态规划】 最长公共子序列 求长度和最长字符串
相信能搜这个算法的，一定是对它有所接触了，最长公共子序列（非连续）问题是求两个字符串中公有的字符组成的最长字符串（当然字符的先后顺序不能变）；
以南阳36为例：
最长公共子序列
时间限制：3000 ms | 内存限制：65535 KB
难度：3
描述
咱们就不拐弯抹角了，如题，需要你做的就是写一个程序，得出最长公共子序列。
tip：最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
输入
第一行给出一个整数N(0
输出
每组测试数据输出一个整数，表示最长公共子序列长度。每组结果占一行。
样例输入
2
asdf
adfsd
123abc
abc123abc样例输出
3
6
这道题要求出a，b两个字符串的最大长度，这里加上求最长字符串。
arr[i][j]:
| 0 | a | d | f | s | d | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a | 0 | |||||
| s | 0 | |||||
| d | 0 | |||||
| f | 0 |
表格的第一列是字符串a:asdf
表格的第一行是字符串b:adfsd
arr[i][j] 代表当a的串到a[i]，b的串到b[j]的时候a，b的最长公共子序列长度。从前至后更新数组。
| 0 | a | d | f | s | d | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| s | 0 | |||||
| d | 0 | |||||
| f | 0 |
当第二行中a只有一个字符‘a’，所以当第一个其等于b中‘a’时，后面的都是1。
| 0 | a | d | f | s | d | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| s | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| d | 0 | |||||
| f | 0 |
同理，第三行最后一个不超过2。
| 0 | a | d | f | s | d | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| s | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| d | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 |
| f | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 |
更新完毕，右下角为公共子串的最大长度。
图中红色数字位置为a[i]=b[j]处，长度由a[i-1][j-1]加1,（若取a[i]=b[j]，那么长度变长，这个长度要在a[i]、b[j]之前的基础上变/斜对角位置）
当a[i]!=b[j]那么arr[i][j]取max[（a[0~i]与b[0~j-1]的最大长度）,(a[0~i-1]与b[0~j]的最大长度)]；
so：求最大长度的代码为：
#include
#include //memset函数头文件
using namespace std;
string a,b,s;
int al,bl,n;
int arr[1001][1001];
void dp() //更新数组
{
for(int i=1;i<=al;i++)
{
for(int j=1;j<=bl;j++)
{
if(a[i-1]==b[j-1]) arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+1; //i-1，j-1是因为a，b字符串是从0开始的 //但是arr数组是要从arr[1][1]开始更新 //因为i=0||j=0→arr[i][j]=0;不需更新
else arr[i][j]=max(arr[i-1][j],arr[i][j-1]);
}
}
}
int main()
{
while(cin>>n)
{
while(n--)
{
memset(arr,0,sizeof(arr));
cin>>a>>b;
al=a.length();
bl=b.length();
dp();
cout<
接下来我们看一下怎么求这个最长的字符串：
求长度是从前向后更新数组，但是想要求字符串需要从后向前看。
| 0 | a | d | f | s | d | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| a | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| s | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 |
| d | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 |
| f | 0 | 1 | 2 | 3 | 3 | 3 |
图中黄底红字部分为相等字符部分：用数组s记录相等点的字符，k为s下标，初值0；
a的长度al，b的长度bl；i=al；j=bl；
判断a[i]=b[j]?如果相等：s[k]=a[i]=b[j];k+1;由于相
如果不等：(1) 如果arr[i][j]==arr[i-1][j]证明还可以向上移动
（例：长度不会由4→2，漏掉3）所以此时可以向上走：i--；
(2)如果arr[i][j]！=arr[i-1][j]，证明再向上走就会漏掉一个相等点
求得s长度不会最大相等长度。所以向左走：j--；
求得s="dsa"；
因为是逆序寻找所以字符串是倒序，对s进行输出时要倒序输出！
代码如下：
#include
#include
using namespace std;
string a,b,s;
int al,bl,n;
int arr[1001][1001];
void dp()
{
for(int i=1;i<=al;i++)
{
for(int j=1;j<=bl;j++)
{
if(a[i-1]==b[j-1]) arr[i][j]=arr[i-1][j-1]+1;
else arr[i][j]=max(arr[i-1][j],arr[i][j-1]);
}
}
}
int main()
{
while(cin>>n)
{
while(n--)
{
memset(arr,0,sizeof(arr));
cin>>a>>b;
al=a.length();
bl=b.length();
dp();
cout<<"最长公共子序列长度："<=0;)
{
for(int j=bl;j>=0;)
{
if(a[i]==b[j])
{
s[k]=a[i];
i--;
j--;
k++;
}
else
{
if(arr[i][j]==arr[i-1][j])
i--;
else
j--;
}
}
}
cout<<"得到的字符串为：";
for(k--;k>=0;k--) //逆向输出s
cout<