MNF推导

      MNF是由Green等^[65]于1988年在PCA的基础上提出。MNF首先对数据噪声进行估计，得到噪声协方差矩阵，用于分离和调节数据中的噪声，去除数据噪声的相关性，并对噪声进行归一化处理，得到方差为1且不相关的噪声数据；然后，分别对噪声数据和信号数据进行PCA变换，并求PCA变换后数据的信噪比；最后，由大到小排列信噪比，得到数据的各主成分信息。PCA是根据方差大小来获取主成分信息，而MNF是由信噪比大小来确定主成分信息，减少了噪声的影响。

     通过高通滤波器模板对数据X进行分离，得到噪声X_N和信号X_S，则有：

通过最大化变换后数据的信噪比，即最大化信号协方差与噪声协方差的比值，得到变换矩阵V。

式中，Y_N和Y_S分别为变换后数据的噪声和信号，Cov(·)表示协方差，C_N和C_S分别为数据的噪声和信号的协方差，C_N= Cov(X_N)，C_S= Cov(X_S)。式(2.13)的优化问题可等价为：

式中，C表示数据的总体协方差，C= Cov(X)，C =C_N + C_S。根据拉格朗日乘子法，式(2.14)的最优解为：

根据式(2.15)从大到小排列特征值，取前d个特征值对应的特征向量，可得到转换矩阵: