时间复杂度与空间复杂度的研究

• O(n) 的时间复杂度不能令人满意（在一些对效率要求严格的场合）；只用到几个局部变量的空间复杂度就是 O(1)
• lg=log2 是一个增长十分缓慢的函数，这种执行时间增加慢于输入值增加的算法（等于的那是 O(n) ）就是次线性时间（sublinear time）；
• 空间复杂度往往不是考虑问题的关键和核心，关键在于时间复杂度，因此不要吝惜变量或者数组矩阵的定义，用空间换时间；

O(m+n) 比如著名的无回溯的 KMP 字符串匹配算法， m 表示模式串的长度， n 为目标串的长度， O(m+n) 表示的是一种前后的逻辑关系（在 O(m) 的基础上 O(n) ）， O(m) 构造 pnext 所用的时间复杂度， O(n) 根据 pnext 表进行实际匹配时所需的时间复杂度。

1. 循环之于时间复杂度

一段函数，程序的主体部分一般而言都是循环，比如 for 循环，while 循环，而不可能发生在赋值语句，if 条件分支语句（所谓分支的含义为，可执行可不执行）；

for 循环与 while 循环的一大区别在于，for 循环的次数一般而言是比较固定的，while 循环视内部循环变量的具体更新形式，比如是线性的变化 O(n) ，还是二叉树对应的 O(logn) ；

2. O(1) 的时间复杂度

• 使用下标索引一个线性数组；
• 对于图的两种表示方法，要确定两个点之间是否有边
  
  • 邻接矩阵：直接索引mat[i][j]进行判断 ⇒ O(1) ；
  • 邻接表：则需要扫描一个顶点的出边表；
• hash：也是直接索引的方式；

3. 图算法的时间复杂度

图算法的复杂度（时间和空间）一般都是基于基于图中顶点数 |V| 和边数 |E| 的度量。

现考虑 图的遍历 图的深度优先遍历算法（非递归）的复杂度。

• 算法执行中入栈和出栈的次数对应于图中的边数 |E| ，总开销是 O(|E|) 时间；
• 如果遇到一个未访问顶点时，需要将其出边表入栈，
  
  • 对于图的邻接矩阵表示，构造所有出边表的总耗时为 O(|V|2)
  • 对于图的邻接表表示，构造所有出边总耗时 O(|E|)

由于显然 |E|<|V|2 ，整个深度优先遍历下来，图的邻接矩阵的时间复杂度为 O(|V|2) ，而对于图的邻接表，时间复杂度为 O(max(|E|,|V|)) ；

4. 多变量时间复杂度

涉及多个变量的时间复杂度，

• 比如图的相关算法 ⇒ 顶点（V）和边（E）
• 明星粉丝见面会 ⇒ 明星的数量（M），粉丝的数量（N）

5. 空间复杂度

数据结构（也包括一维二维数组）即意味着空间复杂度；

基本数据类型的定义，仅占用 O(1) 的空间复杂度，属于就地算法；

• 二叉树的中序遍历，对于一般的迭代版本而言，需要借助辅助栈；
  所需空间复杂度的规模将正比于二叉树的高度；