概率论与数理统计

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排列组合

加法原理: 几种方案
乘法原理: 分几步

不重复排列

$P_n^m=n(n-1)...(n-m)=\frac{n!}{(n-m)!}$

全排列
P_n^n = n (n-1)…1 = n!

重复排列
$n^m$

组合:从n个不同元素中取出m个不同元素.
$C_n^m=\frac{P_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

$C_n^m=C_n^{n-m}$

$C_n^0=C_n^n=1$

随机事件

试验:对客观事物 观察 测量.

随机试验:
1.在相同条件下可以重复.
2.结果不止一个.
3.无法预测结果.

事件:每种结果.

基本事件
相对于试验目的来说，不能再分.

复合事件
由基本事件复合

必然事件: $\Omega$
不可能事件:$\varphi$

样本空间:所有基本事件的集合.
样本点:样本空间的元素. $\omega$

事件间的关系
1.包含. A发生导致B发生
$A\subset B$ A 包含于B
$B\supset A$ B 包含 A

相等: $A\subset B,B\supset A.A=B$

2.并(和)(A B 至少一个发生)
$A\bigcup B(A+B)$

3.交(积)(A B同时发生)
$A\bigcap B(AB)$

无限可列个: 按某种规律排成一个序列.
1.自然数 0,1,2,3,…
2.整数 0,1,-1,2,-2
3.有理数 $\frac{p}{q}$
$0.\dot{5}\dot{6}=x$
$56.\dot{5}\dot{6}=100x$
$56=99x$
$x=\frac{56}{99}$

4.差(A 发生 B 不发生)
$A-B$

5.互不相容事件
A B 不同时发生
AB = $\varphi$

6.对立事件
A,B互不相容，且$A\bigcup B=\omega$
$AB=\varphi ,且A+B=\omega$

1.$\overline{A}是的逆$
$\overline{\overline{A}}=A$
2.$A-B=A-AB=A\overline{B}$

互不相容 与 对立的联系和区别

1.两事件对立,则一定互不相容
2.互不相容适用于多个事件，对应适用于两个事件
3.互不相容.不能同时发生，可以都不发生
对立，有且只有一个发生

7.完备事件组
$A_1,A_2,...,A_n两两互不相容,且\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\Omega$

运算

1.交换.
$A\bigcup B=B\bigcup A.$
$A\bigcap B=B\bigcap A.$
A + B = B + A
AB = BA
2.结合
$(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)$
$(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)$
(A + B) + C=A + (B + C)
(AB)C = A(BC)
3.分配
$(A\bigcup B)\bigcap C=(A\bigcap C)\bigcup (B\bigcap C)$
$(A\bigcap B)\bigcup C=(A\bigcup C)\bigcap (B\bigcup C)$
(A + B)C = AC + BC
(AB) + C= (A+C) (B+C)

4.对偶
$\overline{A\bigcup B}=\overline{A}\bigcap \overline{B}$

$\overline{A\bigcap B}=\overline{A}\bigcup \overline{B}$

长短换，符号变

$\overline{A_1\bigcup A_2\bigcup ...\bigcup A_n}={\overline{A}}_1\bigcap {\overline{A}}_2...\bigcap {\overline{A}}_n$

$\overline{A_1\bigcap A_2\bigcap ...\bigcap A_n}={\overline{A}}_1\bigcup {\overline{A}}_2...\bigcup {\overline{A}}_n$

事件的概率
概率的初等描述
概率:发生的可能性大小 P(A).
性质
1.$P(\Omega )=1.P(\varphi )=0$
2.$0\le P(A)\le 1$

古典概率模型
条件:
1.有限个样本点
2.等可能性

性质:
1.非负性 $0\le P(A)\le 1$
2.规范性 $P(\Omega )=1.P(\varphi )=0$
3.有限可加: $A_1...A_n$互不相容
$P(A_1+A_2+...+A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)$

$P(A)=\frac{A的有利样本点}{\Omega 中样本点总数}$

几何概型
线段、平面、立体

$P(A)=几何度量$

频率与概率
n次试验,A发生了m, $\frac{m}{n}$就叫频率
${\omega }_n(A)$
性质:1.非负.$0\le {\omega }_n(A)\le 0$
2.规范. ${\omega }_n(\Omega )=1,{\omega }_n(\varphi )=0$
3.可加形.$A_1,A_2,\dots ,A_m$互不相容
${\omega }_n(A_1+\cdots +A_m)={\omega }_n(A_1)+\cdots +{\omega }_n(A_m)$

频率的稳定值叫概率(内在属性,先于频率客观存在的)

公理化
描述、古典、几何、统计

公理1:
1.非负.$0\le P(A)\le 0$
2.规范. $P(\Omega )=1$
3.完全可加.$A_1,A_2,\dots ,A_m$互不相容
$P(A_1+A_2+\cdots +A_m)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_m)$

性质1:$P(\varphi )=1$
$\Omega =\Omega +\varphi +\varphi +\dots$
$P(\Omega )=P(\Omega +\varphi +\dots )=P(\Omega )+P(\varphi )+\dots$
$P(\varphi )+\cdots =0,P(\varphi )\ge 0$
$P(\varphi )=0$

性质2:有限可加,$A_1,A_2,A_3,\dots ,A_n$互不相容
$P(A_1+\cdots +A_n)=P(A_1)+\cdots +P(A_n)$

性质3:$P(\overline{A})=1-P(A)$

推论$A_1,\dots ,A_n$是$完备事件组\{\begin{array}{l}1.两两互不相容\\ 2.并是\Omega \end{array}$
$P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)=1$

性质4:$\{\begin{array}{l}1.P(A-B)=P(A)-P(AB)\\ 2.A\supset B.P(A-B)=P(A)-P(B).且P(A)\ge P(B)\end{array}$

性质5(加法):$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
$P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

条件概率
$\Omega 样本空间,A、B两个事件$
$P(B)>0,在B已经发生的条件下A发生的概率$
A对B的条件概率 .P(A|B)

$1.P(A|B)=\frac{n_{AB}}{n_B}$

$2.P(A|B)=\frac{\frac{n_{AB}}{n}}{\frac{n_B}{n}}=\frac{P(AB)}{P(B)}$

$\{\begin{array}{l}1.P(A|B)\ge 0\\ 2.P(\Omega |B)=1\\ 3.A_1,\dots ,A_n互不相容.P(\sum _{i=1}^{\infty }{A}_i|B)=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_i|B)\end{array}$

乘法公式
$P(A)>0,P(B)>0$
$\{\begin{array}{l}1,P(AB)=P(B)P(A|B)\\ 2.P(AB)=P(A)P(B|A)\end{array}$

分步走
$P(A_1{A}_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)\dots P(A_n|A_1\dots A_n)$

$P(A_1{A}_2{A}_3)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1{A}_2)$

全概率公式
定理1.2 $A_1,A_2,\dots ,A_n$是的完备事件组

$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(B|A_i)$

贝叶斯公式
知道结果 推导 原因

$P(A_k|B)=\frac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)}=\frac{P(A_{k}B)}{P(B)}$

事件的独立性
定义: A发生的概率不受B发生的是否的影响
$P(A|B)=P(A)$

定理 P(A) > 0 , P(B) > 0
A,B独立 $⟺$ P(AB) = P(A) P(B)

定义1.6: P(AB)=P(A)P(B) , A,B独立

定理1.5:
1.A,B独立. $A与\overline{B},\overline{A}与B,\overline{A}与\overline{B}$独立

2.P(A) = 0 或 P(A) = 1, A 与 任何事件都独立
P(A) = 0 与 $\varphi$不一样
P(A) = 1 与 $\Omega$ 不一样

独立： 可能性
互不相容: AB = $\varphi$

伯努利模型
独立实验序列:$E_1,E_2,\dots ,E_n$
n重独立实验:$E,E,E,\dots ,E$ $E^n$

伯努利实验:结果只有两种
n重伯努利实验: n次 独立 结果只有两种

定理:如果A的概率P(0$\overline{A}$:1-P,
n重伯努利实验中A发生K次

$P_n(k)=C_n^k{P}^k(1-P{)}^{n-k}$：二项概率公式