必须了解的编程基础 -- 二分搜索小节
1. 二分搜索
1.1 leetcode35 搜索插入位置1
给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。
你可以假设数组中无重复元素。
示例 1:
输入: [1,3,5,6], 5
输出: 2
示例 2:
输入: [1,3,5,6], 2
输出: 1
示例 3:
输入: [1,3,5,6], 7
输出: 4
示例 4:
输入: [1,3,5,6], 0
输出: 0
按照二分法思路列举示例归纳规律：[1,3,5,6]
- begin = 0, end = 3, mid = 1; target = 5， 恰好是nums[mid].
- target = 2, target < nums[mid] && target > nums[mid-1]， 所以 返回 mid -1；
- 同样地，当 target > nums[mid] && target < nums[mid+1]， 返回 mid + 1；
- target = 7, target > nums[mid], begin = mid + 1 = 2; mid = (2 + 3)/2 = 2;
target > nums[mid]; begin = mid + 1 = 2 + 1 = 3, mid = (3 + 3)/2 = 3;
target > nums[mid]; begin = mid + 1 = 4, 出现了越界情况, 此时应该返回mid+1。应该边界 mid = nums.size()-1 返回mid + 1; - 同样地，对于左边界越界时，当mid = 0时，返回0；
class Solution {
public:
int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
int index = -1;
int begin = 0, end = nums.size() - 1;
while (index == -1) {
int mid = (begin + end) >> 1;
if (target == nums[mid]) index = mid;
else if (target < nums[mid]) {
if (mid == 0 || target > nums[mid-1]) {
index = mid;
}
end = mid - 1;
}
else if (target > nums[mid]){
if (mid == nums.size()-1 || target < nums[mid+1]) {
index = mid + 1;
}
begin = mid + 1;
}
}
return index;
}
};小节：二分查找的实质就是不断更新mid，然后来锁定要找的target，本题同样也是这样，不过不同的是本题还需要对mid周围的值施加限制：target只能是出现在mid的左/右两边，或者是出现在左右边界。
这个对mid周围值施加限制条件的思想，还会在下一题中应用的到。
1.2 Leetcode 34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置2
给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
你的算法时间复杂度必须是 O ( l o g n ) O(log n) O(logn) 级别。
如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。
示例 1:
输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出: [3,4]
示例 2:
输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出: [-1,-1]
分析：
- 这个光靠举例子是归纳规律还是有点难度的，需要分析一下；
- 如果光靠二分法能不能找到左右端点？显然不能，二分查找最短只能找到一个目标值的位置或者确认这个值不存在。
- 既然二分法可以找到一个目标值的位置，那么也就能找到两个端点，因为端点也是目标值。
- 从上面一题可以得知，二分查找法就是不断更新mid的值，从nums[mid]或者mid周围的值来搜索目标值的。
- 从[5,7,7,8,8,8,10]出发，如果mid指向最终间的那个8，即有 nums[mid] == target；由4可知，我们需要更新mid来查找端点，要么向左，要么向右去更新mid，又因为一次查找只能往一个方向移动，但是左右端点位于两个方向上，因此，需要对将左右两个端点的查找任务分开进行3。
- 查找左端点：会有两个情况：[5,7,7,8,8,8,10] 和 [8,8,8,10], 当 nums[mid] == target 时， 如果mid == 0 || target > nums[mid-1], 说明此时的mid是左端点，否则说明左端点在mid左面，即要将mid向左移动，又因为mid是通过begin和end更新的，所以令end = mid - 1来更新mid；剩余的target < nums[mid]和 target > nums[mid] 情况和二分查找法相同3。
- 查找右端点：同样会有两个情况：[5,7,7,8,8,8,10] 和 [7,8,8,8], 当 nums[mid] == target 时， 如果mid == nums.size()-1 || target < nums[mid+1], 说明此时的mid是右端点，否则说明右端点在mid右面，即要将mid向右移动，又因为mid是通过begin和end更新的，所以令 begin = mid + 1；剩余的target < nums[mid]和 target > nums[mid] 情况和二分查找法相同3。
class Solution {
public:
vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> ans;
ans.push_back(left_bound(nums, target));
ans.push_back(right_bound(nums, target));
return ans;
}
int left_bound(vector<int>& nums, int target) {
int begin = 0;
int end = nums.size()-1;
while (begin <= end) {
int mid = (begin+end)>>1;
if (target == nums[mid]) {
if (mid == 0 || target > nums[mid-1]) {
return mid;
}
end = mid - 1;
}
else if (target < nums[mid]) {
end = mid - 1;
}
else if (target > nums[mid]) {
begin = mid + 1;
}
}
return -1;
}
int right_bound(vector<int>& nums, int target) {
int begin = 0;
int end = nums.size()-1;
while (begin <= end) {
int mid = (begin+end)>>1;
if (target == nums[mid]) {
if (mid == nums.size()-1 || target < nums[mid+1]) {
return mid;
}
begin = mid + 1;
}
else if (target < nums[mid]) {
end = mid - 1;
}
else if (target > nums[mid]) {
begin = mid + 1;
}
}
return -1;
}
};1.3 LeetCode 33. 搜索旋转排序数组4
假设按照升序排序的数组在预先未知的某个点上进行了旋转。
( 例如，数组 [0,1,2,4,5,6,7] 可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] )。
搜索一个给定的目标值，如果数组中存在这个目标值，则返回它的索引，否则返回 -1 。
你可以假设数组中不存在重复的元素。
你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。
示例 1:
输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出: 4
示例 2:
输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出: -1
分析：同样还是需要思考+举例
- 旋转数组是个新概念，也一定有属于自己的特点。通过示例和举例，发现旋转数组的特点：如果区间[0, mid]和[mid, nums.size()-1]至少有一个是单调递增的。
- 如果对示例1使用二分查找，mid 会一直向左更新，不会找到0；原因在于[4,5,6,7]恰好是递增的。所以，现在问题变成，如何更新mid，使得程序能够找到traget = 0；
- 先结合1.旋转数组的特点，确定target属于[0, mid]和[mid, nums.size()-1]哪个区间。然后在所属区间上进行mid更新操作。
class Solution {
public:
int search(vector<int>& nums, int target) {
int begin = 0;
int end = nums.size()-1;
while (begin <= end) {
int mid = (begin + end)>>1;
if (target == nums[mid]) return mid;
else if (nums[0] <= nums[mid]) {
if (nums[begin] <= target && target <= nums[mid]) {
end = mid - 1;
}
else {
begin = mid + 1;
}
}
else if (nums[mid] <= nums[end]) {
if (nums[mid] <= target && target <= nums[end]) {
begin = mid + 1;
}
else {
end = mid - 1;
}
}
}
return -1;
}
};1.3 二分查找小节
- 二分查找的实质就是不断更新mid，然后来锁定要找的target; 而mid的更新是通过begin和end来决定的， begin和end的更新决定下一个mid值位于当前mid的左端还是右端。
- 1.1和1.2是通过对mid左右附近值的限定来实现target的查找；
- 1.3是通过对mid更新方向的选择来实现target的查找。
https://leetcode-cn.com/problems/search-insert-position/ ↩︎
https://leetcode-cn.com/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/ ↩︎
https://www.bilibili.com/video/BV1GW411Q77S?p=6 ↩︎ ↩︎ ↩︎
https://leetcode-cn.com/problems/search-in-rotated-sorted-array/ ↩︎